Δευτεροβάθμια με παράμετρο

giorgos milonakos · #1

Δίνεται η εξίσωση x^2+(a-2)x+a^2+1=0

, όπου

πραγματική παράμετρος.

Να βρεθεί ο

ώστε οι ρίζες της x_1, x_2

, να επαληθεύουν τη σχέση |x_1|+|x_2|>3

.

Λάμπρος Κατσάπας · #2

giorgos milonakos έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 23, 2018 6:23 pm
Δίνεται η εξίσωση , όπου πραγματική παράμετρος.

Να βρεθεί ο ώστε οι ρίζες της , να επαληθεύουν τη σχέση .

Πρέπει $\Delta \geq 0\Leftrightarrow (a-2)^2-4(a^2+1)\geq 0\Leftrightarrow a\in[-\frac{4}{3},0].$

Επίσης

$|x_1|+|x_2|>3\Leftarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2|x_1x_2|>9$

$\Leftarrow -1-a^2-(a-2)x_1-1-a^2-(a-2)x_2+2(a^2+1)>9$

$\Leftarrow (2-a)(x_1+x_2)>9\Leftarrow (2-a)^2>9\Leftarrow |2-a|>3$

$\Leftarrow a\in[-\frac{4}{3},0]\cap \left ( (-\infty ,-1)\cup (5,+\infty ) \right )=[-\frac{4}{3},-1).$

Τροβαδούρος · #3

Αλλιώς :

$x_1*x_2=a^2+1>0 \Rightarrow |x_1|+|x_2|=|x_1+x_2|$

Άρα

$|x_1|+|x_2|>3 \Leftrightarrow |x_1+x_2|>3| \Leftrightarrow |a-2|>3 \Leftrightarrow a>5$ ή

-1>a

και από τον περιορισμό της διακρίνουσας παίρνουμε το απότέλεσμα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

giorgos milonakos έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 23, 2018 6:23 pm
Δίνεται η εξίσωση , όπου πραγματική παράμετρος.

Να βρεθεί ο ώστε οι ρίζες της , να επαληθεύουν τη σχέση .

Ας λυθεί και όταν οι ρίζες είναι μιγαδικές,οπότε οι απόλυτες τιμές γίνονται μέτρα.

Εκτός φακέλου φυσικά αλλά εντός Μαθηματικής περιέργειας.

Λάμπρος Κατσάπας · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 10, 1970 5:45 pm

giorgos milonakos έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 23, 2018 6:23 pm
Δίνεται η εξίσωση , όπου πραγματική παράμετρος.

Να βρεθεί ο ώστε οι ρίζες της , να επαληθεύουν τη σχέση .
Ας λυθεί και όταν οι ρίζες είναι μιγαδικές,οπότε οι απόλυτες τιμές γίνονται μέτρα.

Εκτός φακέλου φυσικά αλλά εντός Μαθηματικής περιέργειας.

Πρέπει $a\in(-\infty ,-\frac{4}{3})\cup (0,+\infty ).$

Οι μιγαδικές ρίζες είναι οι συζυγείς $\frac{2-a \pm i\sqrt{3a^2+4a} }{2}$ με κοινό μέτρο $\sqrt{\left \left ( \frac{2-a}{2} \right )^2+ \left ( \frac{\sqrt{3a^2+4a}}{2} \right )^2\right }=\sqrt{a^2+1}.$

Άρα η ανίσωσή μας γίνεται

$2\sqrt{a^2+1}>3\Leftrightarrow \sqrt{a^2+1}> \frac{3}{2} \Leftrightarrow a^2+1 > \frac{9}{4}\Leftrightarrow a^2 > \frac{5}{4}\Leftrightarrow |a|>\frac{\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow a\in(-\infty ,-\frac{\sqrt{5}}{2})\cup (\frac{\sqrt{5}}{2},+\infty ).$

Συνδυάζοντας τους δύο περιορισμούς για το

παίρνουμε $a\in(-\infty ,-\frac{4}{3})\cup (\frac{\sqrt{5}}{2},+\infty ).$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

giorgos milonakos έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 23, 2018 6:23 pm
Δίνεται η εξίσωση , όπου πραγματική παράμετρος.

Να βρεθεί ο ώστε οι ρίζες της , να επαληθεύουν τη σχέση .

Τελικά αν δεν υποθέσουμε ότι οι ρίζες είναι πραγματικές η απάντηση είναι

$a\in (-\infty ,-1)\cup (\frac{\sqrt{5}}{2},\infty )$

Δευτεροβάθμια με παράμετρο

Δευτεροβάθμια με παράμετρο

Re: Δευτεροβάθμια με παράμετρο

Re: Δευτεροβάθμια με παράμετρο

Re: Δευτεροβάθμια με παράμετρο

Re: Δευτεροβάθμια με παράμετρο

Re: Δευτεροβάθμια με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση