Ισότητα γωνιών και εφαπτομένη

KARKAR · #1

: Ισότητα γωνιών 13.png (8.71 KiB) Προβλήθηκε 856 φορές

Προεκτείνουμε την μήκους

πλευρά

τετραγώνου ABCD

, κατά τμήμα CP=2a

.

Εντοπίστε σημείο

της πλευράς

, ώστε αν $ST \perp AP$ να είναι : $\widehat{DSA}=\widehat{PST}$

και υπολογίστε την : $\tan\widehat{AST}$ . Ως το βράδυ διατίθεται μόνο για μαθητές .

#2

: Ισότητα γωνιών κι εφαπτομένη.png (21.81 KiB) Προβλήθηκε 816 φορές

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο STEC

προκύπτει ότι $\widehat {AEB} = \widehat \omega$ με συνέπεια :

$\vartriangle AEB = \vartriangle ASD \Rightarrow \boxed{DS = BE = \dfrac{a}{3}}$ και $\boxed{\tan \omega = \dfrac{1}{3}}$ .

$\boxed{\tan \theta = \tan (180^\circ - 2\omega ) = - \dfrac{{2\tan \omega }}{{1 - {{\tan }^2}\omega }} = \dfrac{3}{4}}$

Παρατήρηση,

Αν δεν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του διπλάσιου μπορούμε να δείξουμε ότι $\vartriangle AST \to (5k,4k,3k)\,\,,\,\,k > 0$ (υπολογίζοντας τα )

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 09, 2018 11:51 am
Ισότητα γωνιών 13.pngΠροεκτείνουμε την μήκους πλευρά τετραγώνου , κατά τμήμα .

Εντοπίστε σημείο της πλευράς , ώστε αν $ST \perp AP$ να είναι : $\widehat{DSA}=\widehat{PST}$

και υπολογίστε την : $\tan\widehat{AST}$ . Ως το βράδυ διατίθεται μόνο για μαθητές .

Το πρώτο ερώτημα όπως και ο Νίκος.

: Ισότητα γωνιών και εφαπτομένη.png (9.92 KiB) Προβλήθηκε 798 φορές

Με Π. Θ βρίσκω $AP=a\sqrt{10}$ και από την ομοιότητα των τριγώνων PST, PAD

είναι $\displaystyle \frac{{ST}}{a} = \frac{{PS}}{{PA}} \Leftrightarrow ST = \frac{{8a}}{{3\sqrt {10} }}$

Αλλά, $\displaystyle AT = AP - TP = AP - 3ST \Leftrightarrow AT = \frac{{2a}}{{\sqrt {10} }}.$ Άρα, $\displaystyle \tan \theta = \frac{{AT}}{{ST}} \Leftrightarrow$ $\boxed{tan \theta=\frac{3}{4}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 09, 2018 11:51 am
Ισότητα γωνιών 13.pngΠροεκτείνουμε την μήκους πλευρά τετραγώνου , κατά τμήμα .

Εντοπίστε σημείο της πλευράς , ώστε αν $ST \perp AP$ να είναι : $\widehat{DSA}=\widehat{PST}$

και υπολογίστε την : $\tan\widehat{AST}$ . Ως το βράδυ διατίθεται μόνο για μαθητές .

Έστω $\displaystyle Q$ συμμετρικό του $\displaystyle A$ ως προς $\displaystyle CD$

Το $\displaystyle S$ προσδιορίζεται ως η τομή της κάθετης από το $\displaystyle Q$ στην $\displaystyle AP$ με την $\displaystyle CD$

Επειδή $\displaystyle S$ ορθόκεντρο του τριγώνου $\displaystyle PQA$ θα είναι $\displaystyle \angle QPT = \theta = 2\phi \Rightarrow \tan \theta = \frac{{2\tan \phi }}{{1 - {{\tan }^2}\phi }}$

Αλλά $\displaystyle \tan \phi = \frac{{QD}}{{DP}} = \frac{1}{3}$ .Άρα $\displaystyle \boxed{\tan \theta = \frac{3}{4}}$

: ιγκε.png (14.53 KiB) Προβλήθηκε 779 φορές

Ισότητα γωνιών και εφαπτομένη

Ισότητα γωνιών και εφαπτομένη

Re: Ισότητα γωνιών και εφαπτομένη

Re: Ισότητα γωνιών και εφαπτομένη

Re: Ισότητα γωνιών και εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση