ΕΡΩΤΗΣΗ ΓΙΑ ΑΣΚΗΣΗ

ZF1986 · #1

Αν ισχύει $2f\left ( x \right )+f\left ( 1-y \right )+g\left ( x \right )-g\left ( y \right )+6y=3\left ( x+1 \right )^{^{2}}$ για κάθε $x,y\epsilon R$ και g(0)=0

τότε να δείξετε ότι f=g

, αν $f:R\rightarrow R$ και $g:R\rightarrow R$ .

Έφτασα μέχρι το σημείο 2f(x)+g(x)=3(x^2-2x)

.....

#2

Αρχικά μια υπόδειξη και αν δεν τα καταφέρεις, θα επανέλθω.

Πρώτα βάλε $\displaystyle{y\to x.}$

Στη σχέση που θα βρεις κάνε μια κατάλληλη αντικατάσταση για να προκύψει σύστημα με αγνώστους τα $\displaystyle{f(x),f(1-x).}$

Τώρα καλείσαι να αποδείξεις ότι $\displaystyle{f(x)=x^2-2x}$ και $\displaystyle{g(x)=x^2-2x,}$ οπότε προκύπτει το ζητούμενο.

nikkru · #3

ZF1986 έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 28, 2018 6:06 pm
Αν ισχύει $2f\left ( x \right )+f\left ( 1-y \right )+g\left ( x \right )-g\left ( y \right )+6y=3\left ( x+1 \right )^{^{2}}$ για κάθε $x,y\epsilon R$ και τότε να δείξετε ότι , αν $f:R\rightarrow R$ και $g:R\rightarrow R$ .

Έφτασα μέχρι το σημείο .....

.
Μάλλον κάπου έκανες λάθος γιατί προκύπτει: $2f(x)+g(x)=3(x^2 {\color{Red} +} 2x)$ .

ZF1986 · #4

Όντως...ευχαριστώ για τη βοήθεια. Έλυσα κι άλλες ασκήσεις και καμιά φορά το μυαλό κολλάει στα απλά...

Ευχαριστώ πάντως!!

Ratio · #5

Έχουμε την αρχική $2f(x)+f(1-y)+g(x)-g(y)+6y=3(x+1)^{2}$ (1)

Θέτουμε σε αυτήν όπου

το

οπότε προκύπτει η σχέση

$2f(x)+f(1-x)+g(x)-g(x)+6x=3(x+1)^{2} \Leftrightarrow 2f(x)+f(1-x)=3x^2+3$ (2)
Στην (2) θέτουμε όπου

το

δημιουργώντας τη σχέση $2f(1-x)+f(x)=3(1-x)^{2}+3$ (3)

Από τις (2) και (3) προκύπτει το σύστημα : $\left.\begin{matrix} 2f(x)+f(1-x)=3x^2+3 \\ 2f(1-x)+f(x)=3(1-x)^2+3 \end{matrix}\right\}$

που όταν λυθεί δίνει τον τύπο της f(x)= x^2+2x

Ξαναγυρίζοντας στην αρχική και θέτοντας όπου y= 0

θα έχουμε $2(x^2+2x)+f(1)+g(x)-g(0) = 3(x+1)^{2}$ και κάνοντας τις πράξεις προκύπτει ο τύπος της g(x)=x^2+2x

Οι

σύμφωνα με τον ορισμό της ισότητας συναρτήσεων είναι ίσες

ΕΡΩΤΗΣΗ ΓΙΑ ΑΣΚΗΣΗ

ΕΡΩΤΗΣΗ ΓΙΑ ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΕΡΩΤΗΣΗ ΓΙΑ ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΕΡΩΤΗΣΗ ΓΙΑ ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΕΡΩΤΗΣΗ ΓΙΑ ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΕΡΩΤΗΣΗ ΓΙΑ ΑΣΚΗΣΗ

Μέλη σε σύνδεση