Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου

Soteris · #1

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλα τα ζεύγη $\displaystyle{(x, y)}$ θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει $\displaystyle{(x-1)(21-x)=y^2}$ .

Πρόβλημα 2

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ , για την οποία ισχύει $\displaystyle{f(f(x)+y)=x+f(y)}$ για κάθε $\displaystyle{x, y\in\mathbb{R}}$ .
Να αποδείξετε ότι:
i. Η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ .
ii. $\displaystyle{f(x+y)=f(x)+f(y)}$ , για κάθε $\displaystyle{x, y\in\mathbb{R}}$
iii. Η $\displaystyle{f}$ είναι περιττή.

Πρόβλημα 3

Δίνεται παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$ με $\displaystyle{AB>BC}$ . Γράφουμε τους κύκλους διαμέτρων $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{CD}$ . Ονομάζουμε $\displaystyle{F}$ και $\displaystyle{H}$ τα σημεία τομής των δύο κύκλων και $\displaystyle{M}$ το μέσον του $\displaystyle{BC}$ . Αν $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{L}$ είναι τα συμμετρικά του $\displaystyle{M}$ ως προς $\displaystyle{F}$ και $\displaystyle{H}$ , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{K, A, L, D}$ είναι κορυφές ρόμβου.

Πρόβλημα 4

Έστω $\displaystyle{x_1, x_2, x_3, \ldots}$ μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε $\displaystyle{1=x_1<x_2<x_3<\cdots<x_{\nu+1}\leqslant 2\nu}$ , για $\displaystyle{\nu=1, 2, 3, \ldots}$
Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος $\displaystyle{k}$ είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής $\displaystyle{x_j-x_i}$ για κάποια $\displaystyle{i}$ και $\displaystyle{j}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Soteris έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 10, 2018 10:07 am

Πρόβλημα 2

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ , για την οποία ισχύει $\displaystyle{f(f(x)+y)=x+f(y)}$ για κάθε $\displaystyle{x, y\in\mathbb{R}}$ .
Να αποδείξετε ότι:
i. Η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ .
ii. $\displaystyle{f(x+y)=f(x)+f(y)}$ , για κάθε $\displaystyle{x, y\in\mathbb{R}}$
iii. Η $\displaystyle{f}$ είναι περιττή.

i)Για

γίνεται

$\displaystyle{f(f(x)+1)=x+f(1)}$

Αν f(a)=f(b)

τότε

$\displaystyle{a+f(1)=f(f(a)+1)=f(f(b)+1)=b+f(1)}$

αρα a=b

ii)Για

γίνεται

$\displaystyle{f(f(0))=f(0)}$

και αφού είναι 1-1 f(0)=0

θέτοντας

παίρνουμε

$\displaystyle{f(f(x))=x}$

Αν στην αρχική θέσουμε όπου το

το

λόγω της προηγούμενης προκύπτει η

$\displaystyle{f(x+y)=f(x)+f(y)}$

iii) Η προηγούμενη για y=-x

δίνει

$\displaystyle{0=f(x)+f(-x)}$

που δείχνει ότι είναι περιττή

#3

Soteris έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 10, 2018 10:07 am
Πρόβλημα 4

Έστω $\displaystyle{x_1, x_2, x_3, \ldots}$ μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε $\displaystyle{1=x_1<x_2<x_3<\cdots<x_{\nu+1}\leqslant 2\nu}$ , για $\displaystyle{\nu=1, 2, 3, \ldots}$
Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος $\displaystyle{k}$ είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής $\displaystyle{x_j-x_i}$ για κάποια $\displaystyle{i}$ και $\displaystyle{j}$ .

Ίδιο με το πρόβλημα 4 εδώ.

Αντιγράφω την απάντηση:

cretanman έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 10, 2018 12:49 pm
Αν τότε αφού $1=x_1<x_2\leq 2$ . Άρα κι έτσι .

Αν τότε αφού $1=x_1<x_2<\ldots < x_{k+1}\leq 2k$ άρα δύο από αυτούς έστω και με έχουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με το ( αριθμοί και τα πιθανά υπόλοιπα) κι έτσι η διαφορά τους διαιρείται από το . Αφού λοιπόν $0\leq x_j-x_i \leq 2k-1$ άρα .

Αλέξανδρος

Xriiiiistos · #4

Soteris έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 10, 2018 10:07 am
Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλα τα ζεύγη $\displaystyle{(x, y)}$ θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει $\displaystyle{(x-1)(21-x)=y^2}$ .

$y^{2}>0$ άρα 21>x>1

αλλιώς το αριστερό θα είναι μικρότερο με δοκιμές βρίσκεται εύκολα η λύση

Xriiiiistos · #5

Soteris έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 10, 2018 10:07 am

Δίνεται παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$ με $\displaystyle{AB>BC}$ . Γράφουμε τους κύκλους διαμέτρων $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{CD}$ . Ονομάζουμε $\displaystyle{F}$ και $\displaystyle{H}$ τα σημεία τομής των δύο κύκλων και $\displaystyle{M}$ το μέσον του $\displaystyle{BC}$ . Αν $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{L}$ είναι τα συμμετρικά του $\displaystyle{M}$ ως προς $\displaystyle{F}$ και $\displaystyle{H}$ , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{K, A, L, D}$ είναι κορυφές ρόμβου.

τα μέσα των AB,DC

. $P\equiv FH\cap T{M}'$ , από F,H

τα μέσα των MK,ML

έχουμε

KAI $FH\perp T{M}'$ (αφού τα T,Μ' είναι τα κέντρα των κύκλων και τα άλλα 2 σημεία είναι τα σημεία τομής τους) άρα $KL\perp AD$ . (I)

Το σημετρικό του

ως προς το

τα τέμνει την

ΣΤΟ μέσο λόγο TM{}'//AD

και την

στο μέσο επειδή $FH//KL\kappa \alpha \iota KF=FM$ οπότε η ευθείες AD,KL

διχοτομούνται μεταξύ τους. Λόγο της τελευταίας και της (I)

το

ρόμβος

Al.Koutsouridis · #6

Soteris έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 10, 2018 10:07 am
Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλα τα ζεύγη $\displaystyle{(x, y)}$ θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει $\displaystyle{(x-1)(21-x)=y^2}$ .

Για το αριστερό μέλος της εξίσωσης θα πρέπει να ισχύει $\displaystyle{(x-1)(21-x)=y^2} \geq 0 \Rightarrow x \in \left [ 1, 21\right ]$

Παρατηρούμε ότι (x-1) + (21-x) =20

. Θέτουμε

. Οπότε η εξίσωση γράφεται $(a+10)(10-a) = y^2 \Leftrightarrow a^2+y^2=10^2$ .

Ψάχνουμε δηλαδή τις πυθαγόρειες τριάδες της παραπάνω εξίσωσης, δεδομένων τον περιορισμών μας. Εύκολα φαίνεται, ότι είναι οι

$\displaystyle (a,y) \in \{ (0,10),(\pm 6,8),(\pm 8,6) \} \Rightarrow$

$\displaystyle (x,y) \in \{ (11,10),(17,8),(5,8),(19,6),(3,6)\}$

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση