Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου

Soteris · #1

Πρόβλημα 1

Έστω $\displaystyle{f}$ πραγματική συνάρτηση, συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{[2, 3]}$ και $\displaystyle{a, b}$ ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=\dfrac{a}{2-x}+\dfrac{b}{3-x}}$ έχει λύση στο διάστημα $\displaystyle{(2, 3)}$ .

Πρόβλημα 2

i. Να αποδείξετε ότι κάθε πρώτος αριθμός $\displaystyle{p>3}$ γράφεται ως $\displaystyle{p=3k+1}$ ή $\displaystyle{p=3k+2}$ , για κάποιον θετικό ακέραιο $\displaystyle{k}$ .

ii. Δίνονται οι αριθμοί $\displaystyle{a=p+2, b=p^2+2p-8, c=2^p+p^2}$ , όπου $\displaystyle{p}$ πρώτος αριθμός.
Να βρείτε όλες τις τριάδες $\displaystyle{(a, b, c)}$ τέτοιες, ώστε οι $\displaystyle{a, b, c}$ να είναι πρώτοι αριθμοί.

Πρόβλημα 3

Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο $\displaystyle{ABCD}$ $\displaystyle{(\angle{A}=\angle{D}=90^\circ)}$ . Έστω $\displaystyle{E}$ το συμμετρικό του $\displaystyle{C}$ ως προς το $\displaystyle{D}$ . Έστω ακόμα $\displaystyle{M}$ το μέσον του $\displaystyle{BE}$ και $\displaystyle{N}$ η ορθή προβολή του $\displaystyle{D}$ πάνω στην $\displaystyle{BC}$ . Αν η $\displaystyle{AM}$ τέμνει την $\displaystyle{CE}$ στο $\displaystyle{H}$ , να αποδείξετε ότι οι γωνίες $\displaystyle{\angle{ADN}}$ και $\displaystyle{\angle{AHD}}$ είναι ίσες.

Πρόβλημα 4

Έστω $\displaystyle{x_1, x_2, x_3, \ldots}$ μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε $\displaystyle{1=x_1<x_2<x_3<\cdots<x_{\nu+1}\leqslant 2\nu}$ , για $\displaystyle{\nu=1, 2, 3, \ldots}$
Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος $\displaystyle{k}$ είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής $\displaystyle{x_j-x_i}$ για κάποια $\displaystyle{i}$ και $\displaystyle{j}$ .

#2

Soteris έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 10, 2018 9:42 am

Πρόβλημα 3

Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο $\displaystyle{ABCD}$ $\displaystyle{(\angle{A}=\angle{D}=90^\circ)}$ . Έστω $\displaystyle{E}$ το συμμετρικό του $\displaystyle{C}$ ως προς το $\displaystyle{D}$ . Έστω ακόμα $\displaystyle{M}$ το μέσον του $\displaystyle{BE}$ και $\displaystyle{N}$ η ορθή προβολή του $\displaystyle{D}$ πάνω στην $\displaystyle{BC}$ . Αν η $\displaystyle{AM}$ τέμνει την $\displaystyle{CE}$ στο $\displaystyle{H}$ , να αποδείξετε ότι οι γωνίες $\displaystyle{\angle{ADN}}$ και $\displaystyle{\angle{AHD}}$ είναι ίσες.

Εφόσον δεν υπάρχει σχήμα, νομίζω ότι έπρεπε να λέει "ίσες ή παραπληρωματικές" (σε περίπτωση που AB>CD

).

Ή αλλιώς να δίνεται ότι AB<CD.

: Παγκύπριος 2018 (Γ Λυκείου).Ι.png (13.65 KiB) Προβλήθηκε 1604 φορές

Επεξεργασία: Δίνω το σχήμα για την περίπτωση που είναι AB>CD.

#3

Soteris έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 10, 2018 9:42 am
Πρόβλημα 1

Έστω $\displaystyle{f}$ πραγματική συνάρτηση, συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{[2, 3]}$ και $\displaystyle{a, b}$ ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=\dfrac{a}{2-x}+\dfrac{b}{3-x}}$ έχει λύση στο διάστημα $\displaystyle{(2, 3)}$ .

Θεωρώ συνάρτηση $\displaystyle g(x) = (2 - x)(3 - x)f(x) - a(3 - x) - b(2 - x),$ που είναι συνεχής στο [2,3].

$\displaystyle g(2)g(3) = - ab < 0$ (αφού οι $\displaystyle{a, b}$ είναι ομόσημοι). Άρα από θεώρημα του Bolzano, η

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (2,3)

και το ζητούμενο έπεται.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Soteris έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 10, 2018 9:42 am

Πρόβλημα 2

i. Να αποδείξετε ότι κάθε πρώτος αριθμός $\displaystyle{p>3}$ γράφεται ως $\displaystyle{p=3k+1}$ ή $\displaystyle{p=3k+2}$ , για κάποιον θετικό ακέραιο $\displaystyle{k}$ .

ii. Δίνονται οι αριθμοί $\displaystyle{a=p+2, b=p^2+2p-8, c=2^p+p^2}$ , όπου $\displaystyle{p}$ πρώτος αριθμός.
Να βρείτε όλες τις τριάδες $\displaystyle{(a, b, c)}$ τέτοιες, ώστε οι $\displaystyle{a, b, c}$ να είναι πρώτοι αριθμοί.

i) Αφού $\displaystyle{p>3}$ πρώτος δεν διαιρείται με το

.

Αρα η διαίρεση του με το

δίνει υπόλοιπο

η

.

Προκύπτει ότι $\displaystyle{p=3k+1}$ ή $\displaystyle{p=3k+2}$

ii)Δεν καταλαβαίνω τι ρόλο παίζει το τρίτο.Μάλλον για να μπερδέψει.

Εστω ότι οι a,b

είναι πρώτοι.

Προφανώς $p\neq 2$

Αν p>3

τότε από το i) θα είναι $\displaystyle{p=3k+1}$ ή $\displaystyle{p=3k+2}$

Αν $\displaystyle{p=3k+1}$ τότε a=3k+3=3(k+1)

όχι πρώτος.

Αρα $\displaystyle{p=3k+2}$

τότε όμως είναι $b=p^2+2p-8=(3k+2)^{2}+2(3k+2)-8=3(3k^{2}+6k)$

όχι πρώτος.

Αρα αν οι a,b

είναι πρώτοι τότε p=3

Πράγματι για p=3

είναι

που είναι πρώτοι.

Σπάει ο διάβολος το ποδάρι του και είναι και c=17

πρώτος

#5

Soteris έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 10, 2018 9:42 am

Πρόβλημα 3

Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο $\displaystyle{ABCD}$ $\displaystyle{(\angle{A}=\angle{D}=90^\circ)}$ . Έστω $\displaystyle{E}$ το συμμετρικό του $\displaystyle{C}$ ως προς το $\displaystyle{D}$ . Έστω ακόμα $\displaystyle{M}$ το μέσον του $\displaystyle{BE}$ και $\displaystyle{N}$ η ορθή προβολή του $\displaystyle{D}$ πάνω στην $\displaystyle{BC}$ . Αν η $\displaystyle{AM}$ τέμνει την $\displaystyle{CE}$ στο $\displaystyle{H}$ , να αποδείξετε ότι οι γωνίες $\displaystyle{\angle{ADN}}$ και $\displaystyle{\angle{AHD}}$ είναι ίσες.

: Παγκύπριος 2018 (Γ Λυκείου).png (16.7 KiB) Προβλήθηκε 1619 φορές

Επειδή

και το

είναι μέσο του BE,

θα είναι μέσο και του AH,

οπότε $\displaystyle DM = \frac{{AH}}{2},$ αλλά και $\displaystyle DM|| = \frac{{BC}}{2}.$

Άρα το ABCH

είναι ισοσκελές τραπέζιο και $\displaystyle A\widehat HD = B\widehat CD = 90^\circ - \varphi \Leftrightarrow$ $\boxed{A\widehat HD=A\widehat DN }$

#6

Soteris έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 10, 2018 9:42 am
Πρόβλημα 4

Έστω $\displaystyle{x_1, x_2, x_3, \ldots}$ μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε $\displaystyle{1=x_1<x_2<x_3<\cdots<x_{\nu+1}\leqslant 2\nu}$ , για $\displaystyle{\nu=1, 2, 3, \ldots}$
Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος $\displaystyle{k}$ είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής $\displaystyle{x_j-x_i}$ για κάποια $\displaystyle{i}$ και $\displaystyle{j}$ .

Αν

τότε αφού $1=x_1<x_2\leq 2$ . Άρα x_2=2

κι έτσι

.

Αν

τότε αφού $1=x_1<x_2<\ldots < x_{k+1}\leq 2k$ άρα δύο από αυτούς έστω x_i

και

με

έχουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με το

(

αριθμοί

και

τα πιθανά υπόλοιπα) κι έτσι η διαφορά τους διαιρείται από το

. Αφού λοιπόν $0\leq x_j-x_i \leq 2k-1$ άρα x_j-x_i=k

.

Αλέξανδρος

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση