Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Έλενα Σάββα · #1

Χαίρεται !!
Έχω μία άσκηση αλλά οι ιδέες μου έχουν στερέψει. Η άσκηση λέει:

Βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο την κοινή χορδή των κύκλων:

$x^{2}+y^{2}-4y=30$ & $x^{2}+y^{2}+4x=46$

(Σκέφτηκα να βρω την τομή των δύο κύκλων , η τομή που βρίσκω είναι μία ευθεία.

$x^{2}+y^{2}-4y=30 \rightarrow x^{2}+y^{2}=30 +4y$
$x^{2}+y^{2}+4x=46\rightarrow 4y+30+4x=46\rightarrow x+y-4=0$

δε με βοήθησε κάπου αυτή η πληροφορία όμως)

#2

Έλενα Σάββα έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 04, 2019 5:52 pm
Χαίρεται !!
Έχω μία άσκηση αλλά οι ιδέες μου έχουν στερέψει. Η άσκηση λέει:

Βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο την κοινή χορδή των κύκλων:

$x^{2}+y^{2}-4y=30$ & $x^{2}+y^{2}+4x=46$

(Σκέφτηκα να βρω την τομή των δύο κύκλων , η τομή που βρίσκω είναι μία ευθεία.

$x^{2}+y^{2}-4y=30 \rightarrow x^{2}+y^{2}=30 +4y$
$x^{2}+y^{2}+4x=46\rightarrow 4y+30+4x=46\rightarrow x+y-4=0$

δε με βοήθησε κάπου αυτή η πληροφορία όμως)

Είσαι στην αρχή ακόμα της λύσης.

Υπόδειξη: Όπως σωστά λες, θέλεις την τομή των κύκλων δηλαδή θέλεις τις συντεταγμένες
των (δύο) σημείων. Αυτό που βρήκες είναι η κοινή τους χορδή, όχι η τομή τους.

Συνέχισε από εκεί που το άφησες.

#3

Γράφω μόνο την απάντηση: $\displaystyle {(x - 1)^2} + {(y - 3)^2} = 32$

Έλενα Σάββα · #4

Σας ευχαριστώ για την άμεση απάντηση σας.
Παραμένω ακόμα προβληματισμένη αλλά θα το προσπαθήσω να βρω την απάντηση.

#5

Έλενα Σάββα έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 04, 2019 6:27 pm
Σας ευχαριστώ για την άμεση απάντηση σας.
Παραμένω ακόμα προβληματισμένη αλλά θα το προσπαθήσω να βρω την απάντηση.

Βρήκες μία ευθεία. Τα σημεία τομής αυτής της ευθείας με έναν από τους δύο κύκλους είναι τα άκρα της κοινής χορδής.

Έλενα Σάββα · #6

:ε ,η ευθεία της χορδής

$x^{2}+y^{2}-4y=30$ :C1

Κάνω αντικατάσταση και έχω: $(4-y)^{2}+y^2-4y=30\rightarrow 2y^{2}-12y-14=0\rightarrow y^{2}-6y-7=0$

Ως αποτέλεσμα έχω:
$y_{1}= -1 , y_{2}=7$

$x_{1}=-3,x_{2}=5$
Συνεπώς έχω το μήκος της χορδής ,που είναι το μήκος της διαμέτρου: $\left | (x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1}) \right |=8\sqrt{2}$
άμεσα βρίσκω το μήκος της ακτίνας: $4\sqrt{2}$
το μέσον της χορδής θα είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου ,(έστω σημείο Μ το κέντρο του): Μ:(3,1)
$\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=32$

Σας ευχαριστώ και πάλι!

#7

Έλενα Σάββα έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 04, 2019 8:49 pm
:ε ,η ευθεία της χορδής

$x^{2}+y^{2}-4y=30$ :C1

Κάνω αντικατάσταση και έχω: $(4-y)^{2}+y^2-4y=30\rightarrow 2y^{2}-12y-14=0\rightarrow y^{2}-6y-7=0$

Ως αποτέλεσμα έχω:
$y_{1}= -1 , y_{2}=7$

$x_{1}=-3,x_{2}=5$
Συνεπώς έχω το μήκος της χορδής ,που είναι το μήκος της διαμέτρου: $\left | (x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1}) \right |=8\sqrt{2}$
άμεσα βρίσκω το μήκος της ακτίνας: $4\sqrt{2}$
το μέσον της χορδής θα είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου ,(έστω σημείο Μ το κέντρο του): Μ:(3,1)
$\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=32$

Σας ευχαριστώ και πάλι!

Ωραία δεσποινίς ( υποθέτω μαθήτρια) . Θα μπορούσες να βρεις την εξίσωση αυτή αλλά χωρίς να προσδιορίσεις τα σημεία τομής των δύο κύκλων;

Η λύση που σου ζητώ έχεις λιγότερες πράξεις (νομίζω) αλλά είναι πιο ανεβασμένου επιπέδου.

Έλενα Σάββα · #8

Θα μπορούσατε μήπως να την διατυπώσετε;

#9

Έλενα Σάββα έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 04, 2019 10:16 pm
Θα μπορούσατε μήπως να την διατυπώσετε;

Δίδονται οι κύκλοι με εξισώσεις : $\left\{ \begin{gathered} {C_1}:\,\,\,{x^2} + {y^2} - 4y = 30 \hfill \\ {C_2}:\,\,{x^2} + {y^2} + 4x = 46 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

α)Δείξετε ότι έχουν κέντρα και ακτίνες αντίστοιχα : $\left\{ \begin{gathered} K(0,2)\,,\,\,r = \sqrt {34} \hfill \\ L( - 2,0)\,\,,R = 5\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

β) Δείξετε ότι: $KL = 2\sqrt 2$

γ) Δείξετε ότι οι κύκλοι τέμνονται χωρίς υπολογισμό των σημείων τομής τους .

δ) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο τη κοινή χορδή των δύο αυτών κύκλων , χωρίς να υπολογίσετε τα κοινά σημεία των δύο κύκλων.

ε) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα κοινά σημεία των δύο κύκλων και από την αρχή των αξόνων. χωρίς να υπολογίσετε τα κοινά σημεία των δύο κύκλων.

Έλενα Σάββα · #10

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 04, 2019 11:22 pm

Έλενα Σάββα έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 04, 2019 10:16 pm
Θα μπορούσατε μήπως να την διατυπώσετε;
Δίδονται οι κύκλοι με εξισώσεις : $\left\{ \begin{gathered} {C_1}:\,\,\,{x^2} + {y^2} - 4y = 30 \hfill \\ {C_2}:\,\,{x^2} + {y^2} + 4x = 46 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

α)Δείξετε ότι έχουν κέντρα και ακτίνες αντίστοιχα : $\left\{ \begin{gathered} K(0,2)\,,\,\,r = \sqrt {34} \hfill \\ L( - 2,0)\,\,,R = 5\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

β) Δείξετε ότι: $KL = 2\sqrt 2$

γ) Δείξετε ότι οι κύκλοι τέμνονται χωρίς υπολογισμό των σημείων τομής τους .

δ) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο τη κοινή χορδή των δύο αυτών κύκλων , χωρίς να υπολογίσετε τα κοινά σημεία των δύο κύκλων.

ε) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα κοινά σημεία των δύο κύκλων και από την αρχή των αξόνων. χωρίς να υπολογίσετε τα κοινά σημεία των δύο κύκλων.

α. $\left\{\begin{matrix} ( x-0 \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}=34 & & & & \\ ( x+2 \right )^{2}+\left ( y-0 \right )^{2}=50 & & & & \end{matrix}\right.$

Προφανώς:

$r_{1}=\sqrt{34} r_{2}=5\sqrt{2}$

β. ΚΛ=(-2,-2), $\left | ΚΛ \right |=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

γ. Για να τέμνονται πρεπει:

$\left | r_{1}-r_{2} \right |< \left | KL \right |< r_{1}+r_{2}\Rightarrow \left | \sqrt{34}-\sqrt{50} \right |< \sqrt{8}< \sqrt{34}+\sqrt{50}$ που ισχύει.

δ. για αυτό το ερώτημα σκέφτηκα ότι η διάκεντρος είναι κάθετη με την κοινή χορδή, δεν κατέληξα κάπου. Όπως και για το επόμενο.

#11

Πάμε σιγά- σιγά λοιπόν :

Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει η εξίσωση:

x + y - 4 = 0

που εκφράζει την ευθεία της κοινής χορδής των δύο κύκλων (Ριζικός άξονας),

Πάρε την εξίσωση : ${x^2} + {y^2} - 4y - 30 + k(x + y - 4) = 0\,\,\,,\,\,k\, \in \mathbb{R}$ και δες

Ότι διέρχεται από τα κοινά σημείο του πρώτου του κύκλου με την ευθεία γιατί

Ταυτόχρονα ισχύει : ${x^2} + {y^2} - 4y - 30 = 0\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,x + y - 4 = 0\,,\,\,k\, \in \mathbb{R}$

και μετά δείξε ότι αυτή η εξίσωση γράφεται: : ${x^2} + {y^2} + Ax + By + C = 0$

όπου A,B,C

είναι εκφράσεις του

.

Βρες π. χ. την τετμημένη του κέντρου ( ως έκφραση του

) και πρέπει να επαληθεύεται από την τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας

με την κοινή χορδή..

θα μπορούσα την παραμετρική εξίσωση να τη γράψω με χρήση των εξισώσεων των δύο κύκλων αλλά καλύτερα έτσι για να μην έχω δύσκολες πράξεις

Παλιότερα που η Β λυκείου έγραφε πανελλήνιες ή πιο παλιά που η Γ τάξη έγραφε σε περισσότερη ύλη είχαν τεθεί τέτοια θέματα .

Μόνη μετά, το άλλο ερώτημα.

#12

Έλενα Σάββα έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 04, 2019 8:49 pm
το μέσον της χορδής θα είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου ,(έστω σημείο Μ το κέντρο του): Μ:(3,1)
$\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=32$

Για ξαναδές το αυτό. Προφανώς πρόκειται για αθώα αβλεψία που όμως συμπαρασύρει την σωστή απάντηση για την εξίσωση του κύκλου.

Ζητώ να το ξαναδείς γιατί πρόκειται θα σου πω έναν πολύ ωραίο και γρήγορο τρόπο να βρίσκεις την εξίσωση κύκλου ο οποίος έχει διάμετρο
ένα ευθύγραμμο τμήμα με γνωστά άκρα (όπως εδώ). Οπότε θέλω να έχουμε την σωστή απάντηση, για να μην φανεί ότι βρίσκω άλλο αποτέλεσμα από το δικό σου.

Θα περιμένω την διόρθωση. Υπόψη ότι την σωστή τελική απάντηση την έχει δώσει ούτως ή άλλως ο Γιώργος παραπάνω.

Έλενα Σάββα · #13

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 05, 2019 6:43 pm

Έλενα Σάββα έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 04, 2019 8:49 pm
το μέσον της χορδής θα είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου ,(έστω σημείο Μ το κέντρο του): Μ:(3,1)
$\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=32$

Θα περιμένω την διόρθωση. Υπόψη ότι την σωστή τελική απάντηση την έχει δώσει ούτως ή άλλως ο Γιώργος παραπάνω.

Ναι ,έχετε δίκιο: $\left ( (x_{1}+x_{2})/2 , (y_{1}+y_{2})/2 \right ) = (2/2,6/2) = (1,3)$

#14

Έλενα Σάββα έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 05, 2019 10:27 pm
Ναι ,έχετε δίκιο: $\left ( (x_{1}+x_{2})/2 , (y_{1}+y_{2})/2 \right ) = (2/2,6/2) = (1,3)$

Ωραία. Με αυτό ως δεδομένο, η (σωστή) εξίσωση του ζητούμενου κύκλου είναι η $\displaystyle{ \left ( x-1\right )^{2}+\left ( y-3 \right )^{2}=32}$ .

Όπως υποσχέθηκα, ένας ωραίος και γρήγορος τρόπος να βρούμε την εξίσωση χωρίς πρώτα να προσδιορίσουμε το κέντρο και την ακτίνα είναι ο εξής:

Θέλουμε τον κύκλο με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα $A(-3,\,-1), \, B(5,\,7)$ που βρήκες στο ποστ #6. Αν λοιπόν M(x,y)

στον κύκλο, τότε από ιδιότητα της διαμέτρου τα $MA, \, MB$ είναι κάθετα. Άρα από τις κλίσεις τους

$\displaystyle{\dfrac {y-(-1)}{x-(-3)}\cdot \dfrac {y-7}{x-5}=-1}$ .

Οπότε $\displaystyle{\dfrac {y^2-6y-7}{x^2-2x+ 15}=-1}$ , και άρα $\displaystyle{(x^2-2x- 15)+ (y^2-6y-7)=0}$ που είναι ο ίδιος με τον προηγούμενο (απλές πράξεις).

#15

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 05, 2019 11:41 pm

Έλενα Σάββα έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 05, 2019 10:27 pm
Ναι ,έχετε δίκιο: $\left ( (x_{1}+x_{2})/2 , (y_{1}+y_{2})/2 \right ) = (2/2,6/2) = (1,3)$
Ωραία. Με αυτό ως δεδομένο, η (σωστή) εξίσωση του ζητούμενου κύκλου είναι η $\displaystyle{ \left ( x-1\right )^{2}+\left ( y-3 \right )^{2}=32}$ .

Όπως υποσχέθηκα, ένας ωραίος και γρήγορος τρόπος να βρούμε την εξίσωση χωρίς πρώτα να προσδιορίσουμε το κέντρο και την ακτίνα είναι ο εξής:

Θέλουμε τον κύκλο με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα $A(-3,\,-1), \, B(5,\,7)$ που βρήκες στο ποστ #6. Αν λοιπόν στον κύκλο, τότε από ιδιότητα της διαμέτρου τα $MA, \, MB$ είναι κάθετα. Άρα από τις κλίσεις τους

$\displaystyle{\dfrac {y-(-1)}{x-(-3)}\cdot \dfrac {y-7}{x-5}=-1}$ .

Οπότε $\displaystyle{\dfrac {y^2-6y-7}{x^2-2x+ 15}=-1}$ , και άρα $\displaystyle{(x^2-2x- 15)+ (y^2-6y-7)=0}$ που είναι ο ίδιος με τον προηγούμενο (απλές πράξεις).

Κάτι παρεμφερές :

Για κάθε M(x,y)

του κύκλου , $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} = 0$ αλλά $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AM} = (x + 3,y + 1) \hfill \\ \overrightarrow {BM} = (x - 5,y - 7) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα :

$(x + 3)(x - 5) + (y + 1)(y - 7) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 6y - 22 = 0$

Έλενα Σάββα · #16

Σας ευχαριστώ πολύ όλους!! Με βοηθήσατε πολύ!

#17

Έλενα Σάββα έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 06, 2019 4:31 pm
Σας ευχαριστώ πολύ όλους!! Με βοηθήσατε πολύ!

Κάποια στιγμή, αν δεν απαντηθούν πλήρως , θα απαντήσω πλήρως στα δύο τελευταία ερωτήματα μου .

Al.Koutsouridis · #18

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 04, 2019 11:22 pm

Έλενα Σάββα έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 04, 2019 10:16 pm
Θα μπορούσατε μήπως να την διατυπώσετε;
Δίδονται οι κύκλοι με εξισώσεις : $\left\{ \begin{gathered} {C_1}:\,\,\,{x^2} + {y^2} - 4y = 30 \hfill \\ {C_2}:\,\,{x^2} + {y^2} + 4x = 46 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

α)Δείξετε ότι έχουν κέντρα και ακτίνες αντίστοιχα : $\left\{ \begin{gathered} K(0,2)\,,\,\,r = \sqrt {34} \hfill \\ L( - 2,0)\,\,,R = 5\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

β) Δείξετε ότι: $KL = 2\sqrt 2$

γ) Δείξετε ότι οι κύκλοι τέμνονται χωρίς υπολογισμό των σημείων τομής τους .

δ) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο τη κοινή χορδή των δύο αυτών κύκλων , χωρίς να υπολογίσετε τα κοινά σημεία των δύο κύκλων.

ε) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα κοινά σημεία των δύο κύκλων και από την αρχή των αξόνων. χωρίς να υπολογίσετε τα κοινά σημεία των δύο κύκλων.

Για το (ε):

Πολλαπλασιάζω την εξίσωση του πρώτου κύκλου με

και την εξίσωση του δεύτερου κύκλου με

(

πραγματικοί αριθμοί) και προσθέτω κατα μέλη. Προκύπτει η εξίσωση

$\displaystyle (a+b)x^2+4bx +(a+b)y^2-4ay = 30a+46b$ (1)

τα σημεία τομής των κύκλων είναι υποσύνολο των σημείων που ορίζει η (1). Για $a \neq b$ η (1) γράφεται διαδοχικά

$\displaystyle (a+b)x^2+4bx +(a+b)y^2-4ay = 30a+46b \Rightarrow$

$\displaystyle x^2 +2\dfrac{2b}{a+b} +y^2-2\dfrac{2a}{a+b} = \dfrac{30a+46b}{a+b} \Rightarrow$

$\displaystyle x^2 +2\dfrac{2b}{a+b} +\left (\dfrac{2b}{a+b} \right)^2+y^2-2\dfrac{2a}{a+b} +\left (\dfrac{2a}{a+b} \right)^2= \dfrac{30a+46b}{a+b}+\left (\dfrac{2b}{a+b} \right)^2 +\left (\dfrac{2a}{a+b} \right)^2 \Rightarrow$

$\displaystyle \left (x+\dfrac{2b}{a+b} \right)^2 +\left (y-\dfrac{2a}{a+b} \right)^2 = \dfrac{30a+46b}{a+b}+\dfrac{4a^2+4b^2}{\left (a+b\right )^2}$ (2)

Για να διέρχεται η καμπύλη (2) από την αρχή των αξόνων θα πρέπει το σημείο (0,0)

να την ικανοποιεί. Αντικαθιστώντας βρίσκουμε οτι θα πρέπει 30a+46b=0

(3). Στην περίπτωση αυτή η (2) παριστάνει τον κύκλο

$\displaystyle \left (x+\dfrac{2b}{a+b} \right)^2 +\left (y-\dfrac{2a}{a+b} \right)^2 = \dfrac{4a^2+4b^2}{\left (a+b\right )^2}$ (4)

Ο οποίος λόγω της σχέσης (3) γίνεται

$\displaystyle \left (x-\dfrac{16}{15} \right)^2 +\left (y+\dfrac{16}{23} \right)^2 = \dfrac{377}{8}$ (5)

Ο παραπάνω κύκλος (5) είναι ο ζητούμενος.

Παρομοίως μπορεί να απαντηθεί και το ερώτημα (δ).

#19

Γλιτώνουμε λίγο κόπο αν εργαστούμε με μία παράμετρο στην θέση των $a,\,b$ . Συγκεκριμένα:

Παρατηρούμε τι για κάθε $\lambda \ne -1$ η εξίσωση ${x^2} + {y^2} - 4y - 30 + \lambda ({x^2} + {y^2} + 4x - 46)=0$ παριστάνει κύκλο (απλό: βάλε τους ομοειδείς όρους μαζί) και ότι τα κοινά σημεία των αρχικών ικανοποιούν την εξίσωση που μόλις έγραψα (διότι στα σημεία τομής δίνει $0+\lambda \cdot 0 =0$ ).

Αν θέλουμε ο κύκλος αυτός να διέρχεται από το (0,0)

, απαιτούμε ${0^2} + {0^2} - 0 - 30 + \lambda ({0^2} + {0^2} + 0 - 46)=0$ , οπότε $\lambda = -30/46$ . Άρα ο ζητούμενος είναι ο ${x^2} + {y^2} - 4y - 30 -\dfrac {30}{46} ({x^2} + {y^2} + 4x - 46)=0$ , που εύκολα γράφεται σε κανονική μορφή (διαίρεσε με το $1-\frac {30}{46}$ ).

Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων

Μέλη σε σύνδεση