Ανισότητα με κυρτή συνάρτηση

Tolaso J Kos · #1

Αν $a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_{2m-1} \geq 0$ και

κυρτή συνάρτηση στο [0, a_1]

να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{2m-1} (-1)^{k-1} f(a_k) \geq f\left ( \sum_{k=1}^{2m-1} (-1)^{k-1} a_k \right )}$
Δεν έχω λύση.

#2

Ουσιαστικά προκύπτει επαγωγικά από την ανισότητα που αποδεικνύεται εδώ.

Για τρεις αριθμούς είναι η ακόλουθη:

matha έγραψε: Τρί Σεπ 06, 2011 9:07 am
Πρόταση:

Αν $\displaystyle{f}$ κυρτή συνάρτηση στο διάστημα $\displaystyle{D}$ και $\displaystyle{a,b,c\in D}$ με $\displaystyle{a\leq b\leq c,}$ τότε ισχύει

$\displaystyle{f(a-b+c)+f(b)\leq f(a)+f(c).}$

Απόδειξη:

Επειδή είναι $\displaystyle{b\in [a,c]}$ , υπάρχουν $\displaystyle{m,n \in [0,1]}$ με $\displaystyle{m+n=1}$ ώστε $\displaystyle{b=ma+nc.}$ (αυτό ουσιαστικά μας λέει ότι το διάστημα είναι κυρτό σύνολο)

Επομένως, είναι

$\displaystyle{f(b)=f(ma+nc)\leq mf(a)+nf(c)}$ ( $\displaystyle{\color {red}\spadesuit}$ )

(η παραπάνω ανισότητα ισχύει λόγω κυρτότητας της $\displaystyle{f}$ ).

Ακόμα είναι $\displaystyle{a-b+c=a-ma-nc+c=(1-m)a+(1-n)c=na+mc.}$

Άρα, πάλι λόγω κυρτότητας, έχουμε

$\displaystyle{f(a-b+c)=f(na+mc)\leq nf(a)+mf(c)}$ ( $\displaystyle{\color {red}\spadesuit \spadesuit}$ )

Με πρόσθεση των ( $\displaystyle{\color {red}\spadesuit , \color {red}\spadesuit \spadesuit}$ ) προκύπτει η ζητούμενη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Μετά την απόδειξη του Θάνου για m=2

εύκολα μπορούμε με επαγωγή να πάμε στο γενικό.

Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι

$a_{1}-a_{2}+.......+a_{2m-3}-a_{2m-2}+a_{2m-1} \geq a_{2m-1}\geq a_{2m}\geq a_{2m+1}$

και να το εφαρμόσουμε για

σημεία.

Η απόδειξη για m=2

δηλαδή για

σημεία μπορεί να γίνει και διαφορετικά.

Είναι γνωστό ότι αν η

είναι κυρτή τότε

$\displaystyle f(x)=f(0)+\int_{0}^{x}g(x)dx$

όπου g(x)

είναι αύξουσα συνάρτηση

(για g(x)

παίρνουμε την δεξιά η αριστερή παράγωγο)

για m=2

πρέπει να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle \int_{0}^{a_{1}}g(x)dx-\int_{0}^{a_{2}}g(x)dx+\int_{0}^{a_{3}}g(x)dx\geq \int_{0}^{a_{1}-a_{2}+a_{3}}g(x)dx$

η ισοδύναμα

$\displaystyle \int_{a_{2}}^{a_{1}}g(x)dx\geq \int_{a_{3}}^{a_{1}-a_{2}+a_{3}}g(x)dx$

που ισχύει αφού η

είναι αύξουσα και τα διαστήματα

$[a_{2},a_{1}],[a_{3},a_{1}-a_{2}+a_{3}]$

εχουν το ίδιο μήκος $a_{1}-a_{2}$ και το πρώτο βρίσκεται δεξιότερα του δεύτερου.

Ανισότητα με κυρτή συνάρτηση

Ανισότητα με κυρτή συνάρτηση

Re: Ανισότητα με κυρτή συνάρτηση

Re: Ανισότητα με κυρτή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση