3 θέματα εξέτασης Απ. Λογ. Ι

#1

Ασχολίαστα -προς το παρόν- 3 θέματα πρόσφατης εξέτασης Απειροστικού Λογισμού Ι:

Αν $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$ και η είναι παραγωγίσιμη στο $[10,+\infty)$ , εξετάστε την ύπαρξη του $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}f'(x)$ .
Αν η είναι παραγωγίσιμη στο $[10,+\infty)$ με και $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$ , εξετάστε αν υπάρχει $\xi_2\in(10,+\infty)$ με $f'(\xi_2)=0$ .
Αν η είναι παραγωγίσιμη στο $[10,+\infty)$ με και $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$ , εξετάστε αν υπάρχει $\xi_3\in(10,+\infty)$ με $f''(\xi_3)=0$ .

Tolaso J Kos · #2

#3

H $f(x) = -e^{-x}$ είναι παράδειγμα για τα (2) και (3) όπου δεν υπάρχει $\xi$ με $f'(\xi)=0$ ή $f''(\xi)=0$ . Η $f(x) = \frac{\sin(x^2)}{\sqrt{x}}$ είναι παράδειγμα για το (1) όπου το όριο της παραγώγου δεν υπάρχει.

#4

Τα δεδομένα δεν εξασφαλίζουν το ίδιο συμπέρασμα για οποιαδήποτε συνάρτηση που τα πληροί. Π.χ. οι συναρτήσεις $f(x)=0\,,\;x\in[10,+\infty)$ και $g(x)=\frac{\sin(x^2)}{x}\,,\;x\in[10,+\infty)$ , είναι παραγωγίσιμες στο $[10,+\infty)$ και έχουν $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}f(x)=\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}g(x)=0$ , αλλά $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}f'(x)=0$ , ενώ το $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}g'(x)$ δεν υπάρχει.
Τα δεδομένα δεν εξασφαλίζουν το ίδιο συμπέρασμα για οποιαδήποτε συνάρτηση που τα πληροί. Π.χ. οι συναρτήσεις $f(x)=-\frac{1}{x}\,,\;x\in[10,+\infty)$ και $g(x)=\big(\frac{x}{10}\big)^{\frac{1}{x}}-1\,,\;x\in[10,+\infty)$ , είναι παραγωγίσιμες στο $[10,+\infty)$ με $f'(10)>0,\,g'(10)>0$ και έχουν $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}f(x)=\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}g(x)=0$ , αλλά, για κάθε $x\in[10,+\infty)$ ισχύει $f'(x)=\frac{1}{x^2}>0$ , ενώ $g'(10\,{\rm{e}})=0$ .
Τα δεδομένα δεν εξασφαλίζουν το ίδιο συμπέρασμα για οποιαδήποτε συνάρτηση που τα πληροί. Π.χ. οι συναρτήσεις $f(x)=-\frac{1}{x}\,,\;x\in[10,+\infty)$ και $g(x)=-\frac{1}{x}\,{\rm{e}}^{\sin{x}}\,,\;x\in[10,+\infty)$ , είναι παραγωγίσιμες στο $[10,+\infty)$ με $f'(10)>0,\,g'(10)>0$ και έχουν $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}f(x)=\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}g(x)=0$ , αλλά, για κάθε $x\in[10,+\infty)$ ισχύει $f''(x)=-\frac{2}{x^3}<0$ , ενώ υπάρχουν(*) άπειρες λύσεις της εξίσωσης .

(*) Αν και η απόδειξη της ύπαρξής τους έχει κάποια τεχνική δυσκολία στην συγκεκριμένη περίπτωση.

Σχόλιο: Βρίσκω ότι είναι, τουλάχιστον, άστοχο σαν θέμα εξέτασης μια (θεωρητική) πρόταση που δεν είναι ούτε αληθής, ούτε ψευδής.
Και στην συγκεκριμένη εξέταση υπήρξαν τρεις τέτοιες!

#5

margk έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 05, 2019 11:43 pm
Τρία ερωτήματα
α) ξέρουμε σε ποια σχολή έπεσαν τα θέματα;
β) Πόσες μονάδες από τις 10 αντιστοιχούν σε αυτά;
γ) πόσο εύκολο είναι για πρωτοετή φοιτητή να κατασκευάσει αυτές τις συναρτήσεις κατά την διάρκεια της εξέτασης;

Τα τρία θέματα αντιστοιχούσαν σε 1+1+1=3 μονάδες. Χαρακτήρισα, τουλάχιστον, άστοχα τα τρία αυτά θέματα γιατί πριν την αναζήτηση των συγκεκριμένων συναρτήσεων που απαιτούνταν (και που δεν ήταν εύκολο να βρεθούν), θα έπρεπε να διερευνηθεί η αλήθεια ή το ψεύδος κάθε θέματος για τυχούσα συνάρτηση, όπως θα ανέμενε κάποιος να συμβαίνει διαβάζοντας την εκφώνηση. Η εκφώνηση και στα τρία θέματα δεν ήταν "Να εξετασθεί αν υπάρχει συνάρτηση τέτοια ώστε..." αλλά "Δίνεται συνάρτηση τέτοια ώστε..."
Όσον αφορά την πρώτη ερώτηση: Πρόθεσή μου με την ανάρτηση των συγκεκριμένων θεμάτων δεν ήταν να στοχοποιήσω, αλλά να σημειώσω "κακώς κείμενα".

#6

margk έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 06, 2019 9:54 am
Είναι πολύ καλό να σημειώνουμε τα κακώς κείμενα αλλά από αυτά πολλές φορές εξαρτώνται σημαντικά θέματα όπως...

Για τους λόγους που αναφέρεις -αλλά και για άλλους λόγους- σημειώνουμε τα "κακώς κείμενα"...

3 θέματα εξέτασης Απ. Λογ. Ι

3 θέματα εξέτασης Απ. Λογ. Ι

Re: 3 θέματα εξέτασης Απ. Λογ. Ι

Re: 3 θέματα εξέτασης Απ. Λογ. Ι

Re: 3 θέματα εξέτασης Απ. Λογ. Ι

Re: 3 θέματα εξέτασης Απ. Λογ. Ι

Re: 3 θέματα εξέτασης Απ. Λογ. Ι

Μέλη σε σύνδεση