f(x)e^f(x) = x ......Ποια είναι η αντίστροφη της f ?

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f: R\to R}$ τέτοια ώστε: $\displaystyle{ f\left( x \right) \cdot e^{f\left( x \right)} = x}$

Σωστό ή Λάθος;

α) Η f είναι 1-1 Σ Λ
β) Η f αντιστρέφεται Σ Λ
γ) Το σύνολο τιμών είναι το R Σ Λ
δ) Η αντίστροφη είναι η $\displaystyle{f^{ - 1} \left( x \right) = xe^x }$ για κάθε χ πραγματικό αριθμό Σ Λ

Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας, αυτό που μας απασχολεί περισσότερο είναι το (δ) ερώτημα...

Υ.Γ: Το θέμα το συζητήσαμε και off the record με τον Μιχάλη, θεώρησα ότι έχει ενδιαφέρον γι' αυτό το μοιραζόμαστε μαζί σας...

#2

Εύκολα δείχνουμε ότι
$\displaystyle{xe^x\ge -1/e,\forall x\in R}$
αν $\displaystyle{f^{-1}(x)=xe^x \ge -1/e, \forall x\in R}$ τότε όπου x το f(x) βγαίνει $\displaystyle{f^{-1}(f(x))=x\ge -1/e}$ άτοπο για $\displaystyle{x=-2/e}$

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Σωστά Boris αφού εύκολα αποδεικνύεται ότι η αντίστροφη έχει ελάχιστο (με παραγώγιση κτλ) άρα δεν είναι 1-1, ως εδώ οκ...

Αλλά

α) Άρα τίθεται το ερώτημα ποια είναι τελικά η αντίστροφη της f ??

β) Και γιατί δεν είναι η αντίστροφη της f η xe^x ; Αφού βάζουμε όπου y=f(x) και βρίσκουμε ye^y=x άρα;;

Έχω κάποιες πειστικές απαντήσεις από τον κύριο Λάμπρου αλλά θέλω τις απόψεις σας γιατί νομίζω ότι το θέμα έχει βάθος!

#4

Τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει. Αν υπήρχε θα είχαμε $f(-10)e^{f(-10)} = -10$ αλλά όπως έχει ήδη δείξει ο Ροδόλφος $f(-10)e^{f(-10)} > -1/e > -10$ .

Christos.N · #5

Μια γενική ματιά στην δοθείσα σχέση...

Έχουμε f(x)e^f(x)=x

το οποίο ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς καθώς και ότι η f είναι συνεχής.
Παρατηρούμε εύκολα ότι xf(x)>0

ή ισοδύναμα ότι $\frac{f(x)}{x}>0,x\neq 0$ έχουμε λοιπόν:Για $x\neq 0$ ισχύει ότι $f(x)e^f(x)=x\Leftrightarrow \frac{f(x)}{x}e^f(x)=1\Leftrightarrow ln\frac{f(x)}{x}+f(x)=0\Leftrightarrow ln\frac{f(x)}{x}=-f(x)$ ισχύει ότι lnx<x,x>0

άρα $\frac{f(x)}{x}>ln\frac{f(x)}{x}=-f(x)\Rightarrow f(x)(\frac{1}{x}+1)>0$ .
Οι παράγοντες f(x)

και $\frac{1}{x}+1$ πρέπει να είναι ομόσημοι άρα αν
$x<-1\Rightarrow f(x)>0$
$-1<x<0\Rightarrow f(x)<0$
$0<x\Rightarrow f(x)>0$
Συνεπώς η f έχει δύο ρίζες αφού είναι συνεχής άρα ΄δεν είναι 1-1 παντού στο IR.
Άρα α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Λ

Μάκης Χατζόπουλος · #6

Demetres έγραψε:Τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει. Αν υπήρχε θα είχαμε $f(-10)e^{f(-10)} = -10$ αλλά όπως έχει ήδη δείξει ο Ροδόλφος $f(-10)e^{f(-10)} > -1/e > -10$ .

Αει γειά σου Δημήτρη! Αυτό πιστεύω και εγώ, γι΄αυτό βγάζει προβλήματα η άσκηση!! Άρα μήπως ισχύει σε περιορισμένο διάστημα του χ η αρχική σχέση και όχι σε όλο το R;

Χρήστο πολύ καλή προσέγγιση, αφού τα x,f(x) είναι ομόσημοι αριθμοί... αλλά γιατί δεν αντιστρέφεται;;

Έστω για οποιαδήποτε $\displaystyle{ x_1 ,x_2 \in \Re }$ έχουμε: $\displaystyle{f\left( {x_1 } \right) = f\left( {x_2 } \right)}$ τότε $\displaystyle{ e^{f\left( {x_1 } \right)} = e^{f\left( {x_2 } \right)} }$ οπότε: $\displaystyle{ f\left( {x_1 } \right) \cdot e^{f\left( {x_1 } \right)} = f\left( {x_1 } \right) \cdot e^{f\left( {x_1 } \right)} }$

άρα: $\displaystyle{x_1 = x_2 }$ επομένως η f είναι 1-1 άρα και αντιστρέφεται οπότε α) Σ β) Σ

οπότε παραμένει το ερώτημα (αν δεν το έχουμε απαντήσει ήδη) ποια είναι τότε η αντίστροφη της f (μιας και αντιστρέφεται) ??

k-ser · #7

Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση!
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει. Τότε θα είναι:
$f(-1)e^{f(-1)}=-1 \Rightarrow -f(-1)e^{f(-1)}=1 \Rightarrow ln\left(-f(-1)\right)+f(-1)=0 \Rightarrow ln\left(-f(-1)\right)=-f(-1)$
το οποίο είναι αδύνατο αφού γνωρίζουμε ότι $lnx<x, \forall x>0$ .

Συνεπώς η υπόθεση είναι ψευδής και κάθε συνεπαγωγή είναι... αληθής.

Πληκτρολογώντας "έχασα" τα προηγούμενα μηνύματα!
Δεν πειράζει αφήνω το μήνυμά μου, με ένα ερωτηματικό: Τι θα συμβεί αν υποθέσουμε ότι η ισότητα ισχύει για τα θετικά χ;

Μάκης Χατζόπουλος · #8

Κώστα, μήπως τότε αλλάζει και το σύνολο τιμών της f ;

Christos.N · #9

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Χρήστο πολύ καλή προσέγγιση, αφού τα x,f(x) είναι ομόσημοι αριθμοί... αλλά γιατί δεν αντιστρέφεται;;

Αφού αλλάζει πρόσημο η f στα -1 και 0 και είναι συνεχής παντού θα έχει δύο ρίζες άρα δεν είναι 1-1, νομίζω μάλιστα ότι τέτοια συνάρτηση συνεχής με δύο ρίζες δεν υπάρχει που ικανοποιεί την δοθείσα σχέση παντού στο ΙR.

k-ser · #10

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Κώστα, μήπως τότε αλλάζει και το σύνολο τιμών της f ;

Μάκη, ναι.
Για να το διατυπώσουμε καλύτερα....

Για την συνεχή συνάρτηση $f:[0,+\infty)$ ισχύει: $\displaystyle f(x)e^{f(x)}=x, \ \ \forall x>0$ .
A. Να δείξετε ότι η

είναι

.
Β. Να βρείτε το f(0)

.
Γ. Να δείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το $[0,+\infty)$ .
Δ. Να ορίσετε την αντίστροφή της.

Μάκης Χατζόπουλος · #11

Και νομίζω τότε Κώστα ότι γίνεται μια όμορφη και ακριβής άσκηση!

k-ser · #12

Μάκη, είναι καλή άσκηση και θέλει λίγο προσοχή στο σύνολο τιμών.
Έχουμε δύο επιλογές.

Αν δεν χρησιμοποιήσουμε την συνέχεια τότε:
Για οποιοδήποτε θετικό αριθμό

θα δείξουμε ότι η εξίσωση f(x)=y

έχει λύση ως προς

με

και μάλιστα μοναδική οπότε έχουμε και το 1-1

...
Αν

είναι λύση της εξίσωσης $f(x)=y, \ \ y>0$ συμπεραίνουμε, εύκολα από την δοσμένη ισότητα, ότι x=ye^y

.
Αντίστροφα, θα πρέπει να δείξουμε ότι ο αριθμός $x=ye^y, \ \ y>0$ είναι τέτοιος ώστε: f(x)=y

.
Πράγματι για $x=ye^y, \ \ y>0 \Rightarrow f(x)e^{f(x)}=ye^y\Rightarrow g(f(x))=g(y)\Rightarrow f(x)=y$ , αφού η συνάρτηση g(x)=xe^x, x>0

είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$ .

Η δεύτερη επιλογή μας στηρίζεται στη συνέχεια της συνάρτησης αλλά θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το όριό της στο $+\infty$ . Ο υπολογισμός αυτού του ορίου, όπως τουλάχιστον το κάνω, γίνεται με τη βοήθεια της ανισότητας lnx<x

και συνεπώς δεν είναι εύκολος!
Ίσως να βάζαμε ένα ερώτημα ακόμα πριν το Γ να βρεθεί το όριο της συνάρτησης στο $+\infty$ .

#13

Παλιότερα είχα ανεβάσει το σχετικό θέμα σαν επαναληπτική άσκηση σε όλη την ύλη. Δεν θυμάμαι όμως ακριβώς πότε και που, γι' αυτό το ανεβάζω σε συνημμένο.Το κατασκεύασα έτσι ώστε να περιέχει μεγάλο ποσοστό εξεταστέας ύλης

forum 3.doc: (219.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 221 φορές

k-ser · #14

R BORIS έγραψε:Το κατασκεύασα έτσι ώστε να περιέχει μεγάλο ποσοστό εξεταστέας ύλης

Ροδόλφε, Μπράβο. Πολύ καλό επαναληπτικό θέμα.

Σημειώνω ότι: αυτό ακριβώς που κάνει ο Ροδόλφος στα 3 και 4 ήταν και η δική μου προσέγγιση όταν έγραφα για το όριο της συνάρτησης στο άπειρο. Ο Ροδόλφος στο θέμα του το δίνει πιο "ομαλά" φτιάχνοντας έξυπνα βοηθητικά ερωτήματα.

Μάκης Χατζόπουλος · #15

Καταπληκτική προσέγγιση Ροδόλφε, κάτι τέτοιο έψαχνα! Σας ευχαριστώ όλους (Δημήτρη, Ροδόλφε, Χρήστο, Κώστα)
για την συμμετοχή και το ενδιαφέρον σας από την πρώτη στιγμή που ανάρτησα το θέμα...

Νομίζω ότι για άλλη μια φορά το

έδειξε τις δυνατότητές του!

f(x)e^f(x) = x ......Ποια είναι η αντίστροφη της f ?

f(x)e^f(x) = x ......Ποια είναι η αντίστροφη της f ?

Re: f(x)e^f(x) = x ......Ποια είναι η αντίστροφη της f ?

Re: f(x)e^f(x) = x ......Ποια είναι η αντίστροφη της f ?

Re: f(x)e^f(x) = x ......Ποια είναι η αντίστροφη της f ?

Re: f(x)e^f(x) = x ......Ποια είναι η αντίστροφη της f ?

Re: f(x)e^f(x) = x ......Ποια είναι η αντίστροφη της f ?

Re: f(x)e^f(x) = x ......Ποια είναι η αντίστροφη της f ?

Re: f(x)e^f(x) = x ......Ποια είναι η αντίστροφη της f ?

Re: f(x)e^f(x) = x ......Ποια είναι η αντίστροφη της f ?

Re: f(x)e^f(x) = x ......Ποια είναι η αντίστροφη της f ?

Re: f(x)e^f(x) = x ......Ποια είναι η αντίστροφη της f ?

Re: f(x)e^f(x) = x ......Ποια είναι η αντίστροφη της f ?

Re: f(x)e^f(x) = x ......Ποια είναι η αντίστροφη της f ?

Re: f(x)e^f(x) = x ......Ποια είναι η αντίστροφη της f ?

Re: f(x)e^f(x) = x ......Ποια είναι η αντίστροφη της f ?

Μέλη σε σύνδεση