Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

ΗρακληςΕυαγγελινος · #1

Με τον συνάδελφο Ευριπίδη Κασσέτα επιλέξαμε τις παρακάτω ασκήσεις:

1) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

$\displaystyle{10y^2+2xy+x+y-2=0}$ (1)

2) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

$\displaystyle{3y^2-6xy+12x-7y+2=0}$ (1)

3) Να βρεθούν οι τιμές του $x \in Z$ , για τις οποίες η παράσταση x^2+6x

γίνεται τετράγωνο ακεραίου.

4) Να βρεθούν όλα τα ζεύγη των ακεραίων λύσεων της εξίσωσης:

$xy+\frac{x(x+1)}{2}=17$ (1)

5) Να βρεθούν οι $x,y\in Z$ που πληρούν την 1664y^3=351x^7

(1)

6) Να βρεθεί το έτος γεννήσεως ενός ανθρώπου, αν γνωρίζουμε ότι το έτος 1896 είχε ηλικία ίση με το άθροισμα των ψηφίων του έτους της γέννησής του.

7) Κάποιος με 40 ευρώ ακριβώς αγόρασε 40 εισιτήρια τριών κατηγοριών: του μισού ευρώ, των δύο ευρώ και των τεσσάρων ευρώ. Να βρείτε πόσα εισιτήρια αγόρασε από κάθε κατηγορία.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Για την 1

$10y^2+2xy+x+y-2=0\Leftrightarrow 10y^2+y\left ( 2x+1 \right )+x-2=0$

Είναι $\Delta =\beta ^2-4\alpha \gamma =\left ( 2x+1 \right )^2-4\cdot 10\cdot \left ( x-2 \right )=4x^2+4x+1-40x+80=4x^2-36x+81=\left ( 2x-9 \right )^2$
Οπότε $y_{1,2}=\dfrac{-2x-1\pm \left ( 2x-9 \right )}{2\cdot 10}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & y_1=\dfrac{-2x-1+2x-9}{20}=\dfrac{-10}{20}\notin \mathbb{Z} & \\ \\ & y_2=\dfrac{-2x-1-2x+9}{20}=\dfrac{-4x+8}{20}=\dfrac{2-x}{5} & \end{matrix}\right.$
Οπότε δεκτή η y_2

. Έστω $y=k,k\in \mathbb{Z}$
$\dfrac{2-x}{5}=k\Leftrightarrow x=2-5k$
Άρα λύσεις $\left ( y,x \right )=\left ( k,2-5k \right )$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

Για την 2

Είναι

$3y^2-6xy+12x-7y+2=0\Leftrightarrow 3y^2-y\left ( 6x+7 \right )+\left ( 12x+2 \right )$

$\Delta =\left ( 6x+7 \right )^2-4\cdot 3\cdot \left ( 12x+2 \right )=36x^2+84x+49-144x-24=36x^2-60x+25\left =( 6x-5 \right )^2$
Οπότε
$y_{1,2}=\dfrac{6x+7\pm \left ( 6x-5 \right )}{2\cdot 3}=\left\{\begin{matrix} &y_1=\dfrac{6x+7+6x-5}{6}=\dfrac{12x+2}{6}=2x+\dfrac{1}{3}\notin \mathbb{Z} & \\ \\ & y_2=\dfrac{6x+7-6x+5}{6}=\dfrac{12}{6}=2 & \end{matrix}\right.$
Άρα $y=2,x\in \mathbb{Z}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

Για την 3

Έστω $x^2+6x=k^2,k\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow x^2+6x-k^2=0$
$\Delta =36+4k^2=4\left ( 9+k^2 \right )$

Άρα $x=\dfrac{-6\pm 2\sqrt{9+k^2}}{2}=-3\pm \sqrt{9+k^2}$

Για να είναι $x\in Z$ πρέπει $9+k^2=l^2,l\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow 9=\left ( l-k \right )\left ( l+k \right )\Leftrightarrow l-k,l+k\in \left \{ -1,-3,-9,1,3,9 \right \}$

Για l-k=-1

είναι

άρα $2l=-10\Leftrightarrow l=-5$
$x=-3\pm l=-3\pm 5\Leftrightarrow x_1=2,x_2=-8$

Για l-k=-3

είναι

άρα $2l=-6\Leftrightarrow l=-3$
$x=-3\pm(-3)\Leftrightarrow x_3=0,x_4=-6$

Για l-k=-9

αναγόμαστε στην πρώτη περίπτωση.
Για l-k=1

αναγόμαστε πάλι στην πρώτη κλπ.
Τελικά λύσεις οι x=0,2,-8,-6

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

Για την 4

Είναι $xy+\dfrac{x\left ( x+1 \right )}{2}=17\Leftrightarrow x^2+x+2xy=34\Leftrightarrow x^2+x\left ( 2y+1 \right )-34=0$

$\Delta =\left ( 2y+1 \right )^2+136$

Eίναι $x=\dfrac{-2y-1\pm \sqrt{\left ( 2y+1 \right )^2+136}}{2}$
Eπειδή όμως $x\in \mathbb{Z}$ και $-2y-1\equiv 1(mod2)$ πρέπει $\left ( 2y+1 \right )^2+136=k^2,k\in \mathbb{Z},k\equiv 1(mod2)$

Παίρνουμε $\left (2y+1 \right )^2+136=k^2\Leftrightarrow -136=\left ( 2y+1-k \right )\left ( 2y+1+k \right )\Leftrightarrow 2y+1-k,2y+1+k\in \left \{ -136,-68,-34,-17,-1,1,17,34,68,13 4 \right \}$

Για 2y+1-k=-136

είναι

άρα $4y+2=-137\Leftrightarrow 0\equiv 1(mod2)$ άτοπο.
Για 2y+1-k=-68

είναι

άρα $4y+2=-66\Leftrightarrow y=-17$
Για 2y+1-k=-34

είναι

άρα $4y+2=-30\Leftrightarrow y=-8$
Για 2y+1-k=-17

είναι

άρα

άτοπο.
Oι υπόλοιπες περιπτώσεις ανάγονται στις παραπάνω.

Για y=-17

είναι $x_{1,2}=\dfrac{-2\cdot \left ( -17 \right )-1\pm \sqrt{ \left (2\cdot \left ( -17 \right ) +1 \right )^2+136 }}{2}=\dfrac{33\pm35 }{2}\Leftrightarrow x_1=34,x_2=-1$
Για y=-8

είναι $x_{3,4}=\dfrac{15\pm19 }{2}\Leftrightarrow x_3=17,x_4=-2$

Άρα έχουμε τα ζεύγη (x,y)=

$\left ( 34,-17 \right ),\left ( -1,-17 \right ),\left ( 17,-8 \right ),\left ( -2,-8 \right )$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #6

Για την 5

Είναι

$1664y^3=351x^7\Leftrightarrow 13\cdot 2^7y^3=13\cdot 3^3 x^7\Leftrightarrow 2^7y^3=3^3x^7$

Έχουμε $2^7y^3\equiv 3^3x^7(mod2\Leftrightarrow x\equiv 0(mod2)$ έστω $x=2k,k\in \mathbb{Z}$
και $2^7y^3\equiv 3^3x^7(mod3)\Leftrightarrow y\equiv 0(mod3)$ έστω $y=3m,m\in \mathbb{Z}$

Άρα η σχέση γίνεται $2^7\left ( 3m \right )^3=3^3\left ( 2k \right )^7\Leftrightarrow m ^3=k^7$

Άρα $k=\sqrt[7]{m^3}$ πρέπει $m=l^{7n},l\in Z,n\in \mathbb{N}$

$k=\sqrt[7]{\left ( l^{7n} \right )^3}=l^{3n}$

Oπότε οι λύσεις είναι τα ζεύγη της μορφής $\left ( x,y \right )=\left ( 2k,3m \right )=\left ( 2\cdot l^{3n} ,3\cdot l^{7n}\right )$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #7

Για την 6

Έστω το έτος ηλικίας του $\overline{abcd},a\neq 0$
Το έτος 1896

θα έχει ηλικία $1896-\overline{abcd}$

Άρα έχουμε την εξίσωση $1896-\left ( 1000a+100b+10c+d \right )=a+b+c+d\Leftrightarrow 1001a+101b+11c+2d=1896$

Για $a\geq 2$ θα είναι πάντα 1001a+101b+11c+2d>1896

αφού

θετικοί.

Άρα a=1

(άμεσο και από την αρχή).

Αντικαθιστούμε 101b+11c+2d=1896-1001=895

Για

θα είναι πάντα 101b+11c+2d>895

Για

θα είναι πάντα 101b+11c+2d<895

Άρα

(και αυτό άμεσο εξ'αρχής)

Αντικαθιστούμε 11c+2d=895-808=87

Για

θα είναι

Για

είναι

Άρα

Άρα το έτος γεννήσεως είναι το 1875

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #8

Για την 7

Έστω ότι αγόρασε

του μισού ,

των

και

των

.

Θα είναι
$\left\{\begin{matrix} & a+b+c=40 & \\ &\dfrac{a}{2}+2b+4c=40 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \dfrac{a}{2}+2b+4c=a+b+c\Leftrightarrow \dfrac{a}{2}=b+3c\Leftrightarrow a=2b+6c$

Aντικαθιστούμε $a+b+c=40\Leftrightarrow 2b+6c+b+c=40\Leftrightarrow 3b+7c=40\Leftrightarrow b=\dfrac{40-7c}{3}$

Για να είναι $b\in \mathbb{N}$ πρέπει c<6

και $40-7c\equiv 0(mod3)\Leftrightarrow c\equiv 1(mod3)\Leftrightarrow c=1,4$

Για είναι και άρα $\left ( a,b,c \right )=\left ( 28,11,1 \right)$

Για είναι και άρα $\left ( a,b,c \right )=\left ( 32,4,4 \right)$

Prødigy · #9

Για το 6ο:

Προφανώς το έτος γέννησης είναι 4-ψήφιος, έστω ${\overline{xyzw}}$ .
Έχουμε ότι (max)x+y+z+w=36

, άρα δεν μπορεί να γεννήθηκε πριν το 1860

.

Ελέγχουμε τώρα ανά δεκαετία τις ηλικίες:
1) 1+8+6+a=15+a

, οπότε $15\leq A\leq 24$
2) 1+8+7+b=16+b

, οπότε $16\leq A\leq 25$
3) 1+8+8+c=17+c

, οπότε $17\leq A\leq 26$
4) 1+8+9+d=18+d

, οπότε $18\leq A\leq 24$
Όμως 1896-1860=36

και

άρα $27\leq A\leq 36$ , όπου σε συνδιασμό με την παραπάνω διαπίστωση, δεν μπορεί να γεννήθηκε σε αυτήν τη δεκαετία.
Δουλεύουμε όμοια και στις υπόλοιπες περιπτώσεις παίρνουμε ότι μόνο στην 2η δεκαετία μπορεί να έχει γεννηθεί και $17\leq A\leq 25$
Ελέγχοντας λοιπόν τις τιμές αυτές λαμβάνουμε ότι μπορεί να γεννήθηκε μόνο το 1875

.

age

Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

Μέλη σε σύνδεση