Ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης

lefsk · #1

Γεια σας Έχω να γράψω το ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης των παρακάτω συναρτήσεων:
α) f(x,y)= cosxy

στο $(1,\pi )$ .
β) $f(x,y,z)= xe^{y+z}$ στο (0,0,0)

.

Αν δεν κάνω λάθος οι τύποι που πρέπει να χρησιμοποιήσω είναι:
α) $\displaystyle{f(\mathbf{x_{0}+h})=f(\mathbf{x_{0}})+\sum_{i=1}^{2} h_{i}\frac{\partial f }{\partial x_{i}}(\mathbf{x_{0}}) + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{2}h_{i}h_{j}\frac{\partial^2 f}{\partial x_{i}x_{j}}(\mathbf{x_{0}}) + R_{2}(\mathbf{h},\mathbf{x_{0}})}$ όπου $\mathbf{h}=(h_{1},h_{2})$ και $x_{0}$ το σημείο που μου δίνει.

Είμαι σωστός;
Δηλαδή έχω να υπολογίσω την

και άλλες

παραγώγους στο $(1,\pi )$ ;

Βρήκα: $\displaystyle{ f(1+h_{1}, \pi +h_{2}) = -1 + \frac{1}{2}(h_{1}^{2}\pi ^{2} +h_{2}^{2}) + h_{1}h_{2}\pi + R_{2} }$

β) $\displaystyle{f(\mathbf{x_{0}+h})=f(\mathbf{x_{0}})+\sum_{i=1}^{3} h_{i}\frac{\partial f }{\partial x_{i}}(\mathbf{x_{0}}) + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{3}h_{i}h_{j}\frac{\partial^2 f}{\partial x_{i}x_{j}}(\mathbf{x_{0}}) + \frac{1}{6}\sum_{i,j,k=1}^{3}h_{i}h_{j}h_{k}\frac{\partial^3 f}{\partial x_{i}x_{j}x_{k}}(\mathbf{x_{0}}) + R_{3}(\mathbf{h},\mathbf{x_{0}})}$ όπου $\mathbf{h}=(h_{1},h_{2},h_{3})$ και $x_{0}$ το σημείο που μου δίνει.

Είμαι σωστός;
Δηλαδή έχω να υπολογίσω την

και άλλες

παραγώγους στο (0,0,0)

;

Βρήκα: $\displaystyle{ f(h)= h_{1}+h_{1}h_{2}+h_{1}h_{3}+h_{1}h_{2}h_{3}+\frac{1}{2}h_{1}h_{2}^{2}+\frac{1}{2}h_{1}h_{3}^{2}+R_{3} }$

Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

#2

lefsk έγραψε: Τρί Απρ 02, 2019 3:47 pm Γεια σας Έχω να γράψω το ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης των παρακάτω συναρτήσεων:
α) στο $(1,\pi )$ .
β) $f(x,y,z)= xe^{y+z}$ στο .

Αν δεν κάνω λάθος οι τύποι που πρέπει να χρησιμοποιήσω είναι:

Σκέφτεσαι τυποποιημένα. Μέγας εχθρός των Μαθηματικών.

Ο κανόνας στα Μαθηματικά είναι να βρίσκουμε σύντομους δρόμους, και όχι η τυπολογία ή μεθοδολογία.

Μία υπόδειξη για το β) αλλά αφήνω να το συμπληρώσεις και, όμοια, να εργαστείς για το α).

Υπόδειξη: Από τον τύπο $e^t=1+t+\dfrac {t^2}{2!} + ...$ έχουμε $xe^{y+z}= x\left ( 1+(y+z)+\dfrac {(y+z)^2}{2!} +... \right )$ . Συνέχισε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

lefsk έγραψε: Τρί Απρ 02, 2019 3:47 pm Γεια σας Έχω να γράψω το ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης των παρακάτω συναρτήσεων:
α) στο $(1,\pi )$ .
β) $f(x,y,z)= xe^{y+z}$ στο .

Αν δεν κάνω λάθος οι τύποι που πρέπει να χρησιμοποιήσω είναι:
α) $\displaystyle{f(\mathbf{x_{0}+h})=f(\mathbf{x_{0}})+\sum_{i=1}^{2} h_{i}\frac{\partial f }{\partial x_{i}}(\mathbf{x_{0}}) + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{2}h_{i}h_{j}\frac{\partial^2 f}{\partial x_{i}x_{j}}(\mathbf{x_{0}}) + R_{2}(\mathbf{h},\mathbf{x_{0}})}$ όπου $\mathbf{h}=(h_{1},h_{2})$ και $x_{0}$ το σημείο που μου δίνει.

Είμαι σωστός;
Δηλαδή έχω να υπολογίσω την και άλλες παραγώγους στο $(1,\pi )$ ;

Βρήκα: $\displaystyle{ f(1+h_{1}, \pi +h_{2}) = -1 + \frac{1}{2}(h_{1}^{2}\pi ^{2} +h_{2}^{2}) + h_{1}h_{2}\pi + R_{2} }$

β) $\displaystyle{f(\mathbf{x_{0}+h})=f(\mathbf{x_{0}})+\sum_{i=1}^{3} h_{i}\frac{\partial f }{\partial x_{i}}(\mathbf{x_{0}}) + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{3}h_{i}h_{j}\frac{\partial^2 f}{\partial x_{i}x_{j}}(\mathbf{x_{0}}) + \frac{1}{6}\sum_{i,j,k=1}^{3}h_{i}h_{j}h_{k}\frac{\partial^3 f}{\partial x_{i}x_{j}x_{k}}(\mathbf{x_{0}}) + R_{3}(\mathbf{h},\mathbf{x_{0}})}$ όπου $\mathbf{h}=(h_{1},h_{2},h_{3})$ και $x_{0}$ το σημείο που μου δίνει.

Είμαι σωστός;
Δηλαδή έχω να υπολογίσω την και άλλες παραγώγους στο ;

Βρήκα: $\displaystyle{ f(h)= h_{1}+h_{1}h_{2}+h_{1}h_{3}+h_{1}h_{2}h_{3}+\frac{1}{2}h_{1}h_{2}^{2}+\frac{1}{2}h_{1}h_{3}^{2}+R_{3} }$

Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

Ο παρακάτω τύπος
$\displaystyle{f(\mathbf{x_{0}+h})=f(\mathbf{x_{0}})+\sum_{i=1}^{3} h_{i}\frac{\partial f }{\partial x_{i}}(\mathbf{x_{0}}) + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{3}h_{i}h_{j}\frac{\partial^2 f}{\partial x_{i}x_{j}}(\mathbf{x_{0}}) + \frac{1}{6}\sum_{i,j,k=1}^{3}h_{i}h_{j}h_{k}\frac{\partial^3 f}{\partial x_{i}x_{j}x_{k}}(\mathbf{x_{0}}) + R_{3}(\mathbf{h},\mathbf{x_{0}})}$ όπου $\mathbf{h}=(h_{1},h_{2},h_{3})$ και $x_{0}$

είναι για τρίτης τάξης.

πες μας τι θέλεις για το β).Δεύτερης η τρίτης τάξης;

lefsk · #4

Σας ευχαριστώ, θα το προσπαθήσω.
Η εκφώνηση έλεγε $f(x,y)=xe^{y+z}$ στο (0,0,0)

οπότε θεώρησα ότι πρόκειται για τυπογραφικό και εννοεί f(x,y,z)

στο

. Λάθος έκανα; Έπρεπε να σκεφτώ την

σαν σταθερά;

lefsk · #5

Απλά και στις σημειώσεις που διαβάζω, για παράδειγμα στην άσκηση $f(x,y) = e^{x+y}$ , δεν πάει με τον τύπο Taylor $e^{t}=1+t+\frac{t^{2}}{2}+...$ αλλά χρησιμοποιεί τον τύπο που έγραψα, οπότε ίσως θέλει στην συγκεκριμένη περίπτωση να λυθεί έτσι με τον τύπο. Ευχαριστώ, όμως, που μου δείξατε και αυτόν τον ευκολότερο τρόπο!

#6

lefsk έγραψε: Τρί Απρ 02, 2019 9:32 pm Σας ευχαριστώ, θα το προσπαθήσω.
Η εκφώνηση έλεγε $f(x,y)=xe^{y+z}$ στο οπότε θεώρησα ότι πρόκειται για τυπογραφικό και εννοεί στο . Λάθος έκανα; Έπρεπε να σκεφτώ την σαν σταθερά;

Η σωστή εκφώνηση είναι όπως την έχεις στο πρώτο σου ποστ.

Όχι δεν έπρεπε να σκεφτείς την

ως σταθερά. Μεταβλητή είναι.

Ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης

Ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης

Re: Ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης

Re: Ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης

Re: Ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης

Re: Ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης

Re: Ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης

Μέλη σε σύνδεση