Μεταβλητά σημεία σε σταθερή ευθεία.

[vittasko]

Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω , τυχόντα σημεία επί των πλευρών του , αντιστοίχως. Η ευθεία τέμνει τον κύκλο στα σημεία , με το σημείο έστω μεταξύ των και έστω τα σημεία και . Αποδείξτε ότι τα σημεία ανήκουν στην -συμμετροδιάμεσο του , όπου είναι το σημείο τομής των δια των σημείων καθέτων ευθειών επί των αντιστοίχως και .

Κώστας Βήττας.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Θα αποδείξουμε αρχικά πως το ανήκει στην -συμμετροδιάμεσο.

Έστω ότι η εφαπτόμενη από το τέμνει την εφαπτόμενη από το στο και ότι η εφαπτόμενη από το τέμνει την εφαπτόμενη από το στο .

Έστω ότι οι εφαπτόμενες από τα τέμνονται στο .

Tα είναι συνευθειακά από στο εκφυλισμένο .

Όμοια είναι και τα συνευθειακά.

Σχόλιο: Τα σημεία μπορεί σε κάποια σχήματα να μην είναι με αυτή τη σειρά

Έστω ότι οι τέμνονται στο .

Προφανώς το ανήκει από τον ορισμό του στις πολικές των σημείων , άρα από η πολική του είναι η .

Είναι ακόμη γνωστό ότι η τομή των και , έστω , ανήκει στην πολική του , δηλαδή στην ευθεία .

Άρα οι ευθείες συντρέχουν.

Από λοιπόν με τα τρίγωνα και προκύπτει ότι τα είναι συνευθειακά, άρα το ανήκει στην συμμετροδιάμεσο .

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Για το σημείο .

Θεωρούμε ότι η εφαπτομένη από το στον κύκλο τέμνει την στο . Έστω ότι η -Συμμετροδιάμεσος τέμνει τον κύκλο στο . Είναι γνωστό ότι η εφαπτόμενη από το στον κύκλο διέρχεται από το (Το είναι αρμονικό τετράπλευρο).

Από στο εκφυλισμένο προκύπτει ότι τα είναι συνευθειακά.

Άρα οι ευθείες συντρέχουν.

Αν θεωρήσουμε αυτές τις ευθείες ως πολικές προκύπτει ότι οι πόλοι τους είναι συνευθειακά σημεία.

Ο πόλος της είναι το σημείο που οι πολικές των ως προς τον κύκλο τέμνονται.

Το ανήκει στην πολική του (κλασσικό), άρα η κάθετη από το στην είναι η πολική του .

Όμοια η κάθετη από το στην είναι η πολική του .

Άρα ο πόλος της είναι το σημείο !

Ο πόλος του είναι το και ο πόλος του είναι το .

Σύμφωνα με τα παραπάνω τα σημεία είναι συνευθειακά και τελειώσαμε!

[min##]

Για να το δούμε και με μετασχηματισμούς.
Η δεν τέμνει τον κύκλο (δεν είναι πολύ δύσκολο/παραλείπεται).
Άρα υπάρχει προβολικός μετασχηματισμός που να τη στέλνει στην ευθεία στο άπειρο και να στέλνει τον κύκλο σε κύκλο (κατασκευή εδώ viewtopic.php?f=112&t=31170).Παίρνοντας αυτόν τον μετασχηματισμό,τα πάνε στην ευθεία στο άπειρο οπότε οι και γίνονται παράλληλες (τέμνονται στο άπειρο).Βλέποντας τα τόξα,εξαιτίας των παραλληλιών και επειδή πρέπει τα να βρίσκονται στον κύκλο, βγάζουμε πως το πρέπει αναγκαστικά να είναι ισοσκελές.
Επιπλέον,επειδή οι περνούν από σημεία στο άπειρο () βλέπουμε πως το ορίζεται ως η τομή της εκ του παράλληλης στην με την εκ του παράλληλη στην .Είναι λοιπόν από παραλληλίες και ίσα τόξα και ομοίως .Άρα το είναι παράκεντρο του και άρα βρίσκεται στη διχοτόμο της που ταυτίζεται με τη συμμετροδιάμεσο ως προς την .Όμως,ο προβολικός μετασχηματισμός (διατηρώντας τις εφάψεις) έστειλε τη συμμετροδιάμεσο του αρχικού τριγώνου στη συμμετροδιάμεσο του νέου και επειδή διατηρεί τις συνευθειακότητες,το ανήκει και στη συμμετροδιάμεσο του παλιού.Τέλος,είναι ( στο άπειρο) και συνεπώς το ορίζεται ως η τομή της εκ του κάθετης στην με την εκ του κάθετη στην δηλαδή είναι το έγκεντρο του δηλαδή ανήκει στη συμμετροδιάμεσο του κλπ...

vittt.png (42.06 KiB) Προβλήθηκε 1740 φορές