Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

#41

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 11, 2019 7:05 pm
Από την $f'(x)=ln(x(x-2)+2)+\dfrac{x(x-2)}{x(x-2)+2}$ και την $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(x+\dfrac{1}{2}-2\right)=x(x-2)\leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}$ προκύπτει η $\displaystyle f'\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\right)=\displaystyle f'\left(\dfrac{3}{4}\right)$ .

Ωραία! Και γω κινήθηκα παρόμοια. Έστω g(x)=f(x+1/2)-f(x)

Τότε μπορούμε να γράψουμε g'(x)=h((x-1/2)^2+1)-h((x-1)^2+1)

όπου $h(x)=\ln x-\frac{2}{x}$ .
Από τη μονοτονία της

προκύπτει ο μοναδικός μηδενισμός της

στο σημείο όπου (x-1/2)^2=(x-1)^2

, δηλαδή στο $x=\frac{3}{4}$ .

Το ωραίο είναι ότι το ελάχιστο (παρόλο που είναι περίεργο νούμερο), βγαίνει χωρίς καθόλου πράξεις!

Θα μπορούσε άνετα να είχε ζητηθεί στο διαγώνισμα.

abgd · #42

silouan έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 11, 2019 7:45 pm

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 11, 2019 7:05 pm
Από την $f'(x)=ln(x(x-2)+2)+\dfrac{x(x-2)}{x(x-2)+2}$ και την $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(x+\dfrac{1}{2}-2\right)=x(x-2)\leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}$ προκύπτει η $\displaystyle f'\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\right)=\displaystyle f'\left(\dfrac{3}{4}\right)$ .
Ωραία! Και γω κινήθηκα παρόμοια. Έστω
Τότε μπορούμε να γράψουμε όπου $h(x)=\ln x-\frac{2}{x}$ .
Από τη μονοτονία της προκύπτει ο μοναδικός μηδενισμός της στο σημείο όπου , δηλαδή στο $x=\frac{3}{4}$ .

Το ωραίο είναι ότι το ελάχιστο (παρόλο που είναι περίεργο νούμερο), βγαίνει χωρίς καθόλου πράξεις!

Θα μπορούσε άνετα να είχε ζητηθεί στο διαγώνισμα.

Πολύ ωραία η έμπνευση και η λύση της εύρεσης του ελαχίστου! Δεν συμφωνώ για ζητούμενο σ' αυτές τις εξετάσεις. Με έναν περιορισμό χρόνου 20 έως 30 λεπτών και με την πίεση που βιώνουν οι μαθητές όλη αυτή την περίοδο δεν υπάρχουν τα απαιτούμενα περιθώρια να διαπραγματευθούν κάτι τέτοιο.

Υ.Γ.: Μια διόρθωση στο

προκύπτει ο μοναδικός μηδενισμός της

προκύπτει ο μοναδικός μηδενισμός της $g^{\prime}$

paylos · #43

cretanman έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 10, 2019 10:30 am
ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο $s'(x)=f'(x)+1\geq 0$ με την ισότητα να ισχύει μόνο για (λόγω του ερωτήματος Δ3i). Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ . Η προς απόδειξη ανισότητα γράφεται:

$\begin{aligned} f\left(\lambda +\dfrac{1}{2}\right) \geq (\lambda-1)\ln{(\lambda^2-2\lambda+2)}-\lambda+2-\dfrac{1}{2} &\Leftrightarrow f\left(\lambda +\dfrac{1}{2}\right)+\lambda+\dfrac{1}{2} \geq f(\lambda)+\lambda \\ &\Leftrightarrow s\left(\lambda +\dfrac{1}{2}\right) \geq s(\lambda) \\ &\Leftrightarrow \lambda+\dfrac{1}{2}\geq \lambda \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\geq 0\end{aligned}$
που ισχύει για κάθε $\lambda\in\mathbb{R}$ .

Αλέξανδρος

Η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε ανισοϊσότητα. Δεν θα πρέπει να απαντήσουμε πότε ισχύει το ίσον;

#44

paylos έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 12, 2019 9:26 am
Η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε ανισοϊσότητα. Δεν θα πρέπει να απαντήσουμε πότε ισχύει το ίσον;

Όχι, δεν προβλέπεται κάτι τέτοιο. Επίσης το ίσον δεν ισχύει.

Al.Koutsouridis · #45

paylos έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 12, 2019 9:26 am

cretanman έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 10, 2019 10:30 am
ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο $s'(x)=f'(x)+1\geq 0$ με την ισότητα να ισχύει μόνο για (λόγω του ερωτήματος Δ3i). Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ . Η προς απόδειξη ανισότητα γράφεται:

$\begin{aligned} f\left(\lambda +\dfrac{1}{2}\right) \geq (\lambda-1)\ln{(\lambda^2-2\lambda+2)}-\lambda+2-\dfrac{1}{2} &\Leftrightarrow f\left(\lambda +\dfrac{1}{2}\right)+\lambda+\dfrac{1}{2} \geq f(\lambda)+\lambda \\ &\Leftrightarrow s\left(\lambda +\dfrac{1}{2}\right) \geq s(\lambda) \\ &\Leftrightarrow \lambda+\dfrac{1}{2}\geq \lambda \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\geq 0\end{aligned}$
που ισχύει για κάθε $\lambda\in\mathbb{R}$ .

Αλέξανδρος
Η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε ανισοϊσότητα. Δεν θα πρέπει να απαντήσουμε πότε ισχύει το ίσον;

Η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε το αληθές της πρότασης: Η δεδομένη έκφρασή είναι μεγαλύτερη ή ίση από κάτι. Επειδή υπάρχει το διαζευτικό ή, η πρόταση αυτή θα είναι αληθής αν είναι αληθές το μεγαλύτερο ή αν είναι αληθές το ίσον ή αν είναι αληθές και το μεγαλύτερο και το ίσον.

Το ίσον θα χρειαζόταν να εξεταστεί, αν για παράδειγμα μας ζητούσαν να βρούμε την ελάχιστη τιμή, όπως στην άσχκηση που ανέφερε ο Σιλουανός.

#46

Δύο ακόμη πράγματα από εμένα για το συγκεκριμένο ερώτημα.

1) Δεν καταλαβαίνω γιατί ο θεματοδότης ζήτηση το $\lambda+\frac{1}{2}$ . Δεν βλέπω πουθενά το ρόλο του $\frac{1}{2}$ .

2) Μπορούμε με το ΘΜΤ και κάποια επιπλέον δουλειά να απαντήσουμε στο ερώτημα με το ελάχιστο που έδωσα νωρίτερα;

paylos · #47

silouan έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 12, 2019 2:20 pm

paylos έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 12, 2019 9:26 am
Η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε ανισοϊσότητα. Δεν θα πρέπει να απαντήσουμε πότε ισχύει το ίσον;
Όχι, δεν προβλέπεται κάτι τέτοιο. Επίσης το ίσον δεν ισχύει.

Πως μπορείς να αποδείξεις ότι δεν ισχύει το ίσον;

Από ΘΜΤ στο $\left [ \lambda ,\lambda +1 \right ]$ έχουμε ότι $f'\left ( \xi \right )\geq -1$ .

Πως μπορείς να αποκλείσεις τη δυνατότητα να είναι $\xi =1$ ώστε να ισχύει $f'\left ( \xi \right )=-1$ .

Αυτό μπορείς να το διαπιστώσεις μόνο γραφικά.

#48

paylos έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 12, 2019 11:49 pm

Πως μπορείς να αποδείξεις ότι δεν ισχύει το ίσον;
Αυτό μπορείς να το διαπιστώσεις μόνο γραφικά.

Το απέδειξε ο Σταύρος στη δημοσίευση υπ' αριθμόν #28. Ζήτησα στη συνέχεια το ελάχιστο, το οποίο απέδειξε ο Γιώργος στο #39 και στη συνέχεια εγώ έδωσα εναλλακτική στο #41.
Κανονικές αποδείξεις, χωρίς γράφημα.

paylos · #49

Έστω $g\left ( x \right )=f\left ( x \right )+x$ με $x\in \mathbb{R}$ η οποία είναι γνησίως αύξουσα.

Για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$ ισχύει

$f\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )-f\left ( \lambda \right )>-\frac{1}{2}\Leftrightarrow f\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )+\left ( \lambda +\frac {1}{2} \right )>f\left ( \lambda \right )+\lambda \Leftrightarrow g\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )>g\left ( \lambda \right )\Leftrightarrow \lambda +\frac{1}{2}>\lambda \Leftrightarrow \frac{1}{2}>0$
που ισχύει.

Άρα δεν μπορεί να ισχύει $f\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )-f\left ( \lambda \right )<-\frac{1}{2}$

Συνεπώς $f\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )-f\left ( \lambda \right )\geq -\frac{1}{2}$ για κάθε τιμή του λ.

#50

Αυτή τη λύση έχει γράψει και ο Αλέξανδρος σε μια από τις πρώτες δημοσιεύσεις.

paylos · #51

Δεν είναι ακριβώς η ίδια.

tsalikdimd · #52

cretanman έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 10, 2019 5:01 pm

math22 έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 10, 2019 3:59 pm
Mια ερωτηση στο Γ3ii
Μπορουμε να πουμε αρα ή και να πω αδυνατο αφου
Βέβαια! Είναι σωστό αν έχεις δικαιολογήσει ότι για έχουμε .

Εχω την εντύπωση οτι η ισοδυναμία $f(x)(f(x)-x_{0}))=0\Leftrightarrow f(x))=0$ η $f(x))=x_{0}$
δεν ισχύει Συνεπώς θα πρέπει ο μαθητής να μην προχωρήσει στην γραφή αυτής της ισοδυναμίας αλλα να δικαιολογήσει την θετικότητα της f(x)καθώς και το αδύνατο της $f(x))=x_{0}$ πριν το ισοδυναμεί

#53

tsalikdimd έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 14, 2019 8:42 am

Εχω την εντύπωση οτι η ισοδυναμία $f(x)(f(x)-x_{0}))=0\Leftrightarrow f(x))=0$ η $f(x))=x_{0}$
δεν ισχύει Συνεπώς θα πρέπει ο μαθητής να μην προχωρήσει στην γραφή αυτής της ισοδυναμίας αλλα να δικαιολογήσει την θετικότητα της f(x)καθώς και το αδύνατο της $f(x))=x_{0}$ πριν το ισοδυναμεί

Γιατί δεν είναι σωστή; Πρόκειται για εξίσωση. Πότε ισχύει $\displaystyle{f(x)(f(x)-x_0)=0}$ ;

Για όλα τα $\displaystyle{x}$ για τα οποία είναι $\displaystyle{f(x)=0}$ ή $\displaystyle{f(x)=x_0}$ .

#54

paylos έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 12, 2019 11:49 pm

silouan έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 12, 2019 2:20 pm

paylos έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 12, 2019 9:26 am
Η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε ανισοϊσότητα. Δεν θα πρέπει να απαντήσουμε πότε ισχύει το ίσον;
Όχι, δεν προβλέπεται κάτι τέτοιο. Επίσης το ίσον δεν ισχύει.
Πως μπορείς να αποδείξεις ότι δεν ισχύει το ίσον;

Από ΘΜΤ στο $\left [ \lambda ,\lambda +1 \right ]$ έχουμε ότι $f'\left ( \xi \right )\geq -1$ .

Πως μπορείς να αποκλείσεις τη δυνατότητα να είναι $\xi =1$ ώστε να ισχύει $f'\left ( \xi \right )=-1$ .

Αυτό μπορείς να το διαπιστώσεις μόνο γραφικά.

Ή επίσης από την f''(1)=0

κλπ -- σημείο καμπής, οπότε η εφαπτομένη εκεί διαπερνά την καμπύλη και δεν μπορεί να είναι παράλληλη προς οποιαδήποτε χορδή της.

GeorgeTS23 · #55

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 11, 2019 10:01 am

GeorgeTS23 έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 10, 2019 6:07 pm

Demetres έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 10, 2019 2:52 pm

GeorgeTS23 έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 10, 2019 12:19 pm
Για το Α4) το β) αν κάποιος απαντούσε:
"Λάθος, διότι πρέπει η f να ειναι συνεχής στο x0 (και υπάρχουν μη-συνεχείς συναρτήσεις σε κάποιο σημείο)." δεν θα ήταν επισης σωστή η απαντηση του χωρίς να δώσει αντιπαράδειγμα?

Η παρένθεση ειναι δικιά μου. Θα ηταν σωστή λοιπόν η παραπάνω απάντηση στο Α4) β) :
α)Χωρίς την παρένθεση?
β)Με την παρένθεση?

Ακόμη και με την παρένθεση δεν είναι εντελώς σωστό. Θα έπρεπε να λέει « υπάρχουν μη-συνεχείς συναρτήσεις σε κάποιο σημείο στο οποίο όμως αυτές οι συναρτήσεις έχουν όριο».
Ναι καλά αυτο εννοείται αφού πρέπει να ισχύει η υπόθεση.

Ακόμη και με αυτό σηκώνει συζήτηση αν θα έπρεπε να δοθούν όλες οι μονάδες ή όχι.
Γιατί αυτό?
Επειδή δεν έχουμε δείξει οτι υπάρχει τέτοια συνάρτηση? Κάπως υπερβολικό να μην το θεωρούμε ως τετριμμένο, αφού εαν ήταν αληθές αυτό(το ότι δεν υπάρχει καμιά μη-συνεχής συνάρτηση σε κάποιο σημείο στο οποίο να έχει όμως όριο) τότε όλες οι συναρτήσεις(που έχουν όριο κλπ) θα ήταν συνεχείς.
Ας πάρουμε ένα πιο ακραίο παράδειγμα. Αν η πρόταση έλεγε «Όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι συνεχείς», θα ήταν πλήρης η αιτιολόγηση να πούμε «Λάθος διότι γνωρίζουμε ότι υπάρχουν συναρτήσεις η οποίες δεν είναι συνεχείς»; Νομίζω πως όχι διότι είναι σαν να λέμε «Λάθος διότι γνωρίζουμε ότι είναι λάθος».

Εδώ βέβαια δεν είναι τόσο ακραίο το σενάριο μιας και έγινε μια μετάφραση της πρότασης. Νομίζω όμως πως και πάλι δεν πρέπει να πάρει όλες τις μονάδες.

Εν πάση περιπτώσει εγώ δεν έχω εμπλακεί ποτέ σε διορθώσεις Πανελληνίων οπότε ας αποφασίσουν οι πιο έμπειροι στα βαθμολογικά κέντρα πως θα βαθμολογήσουν παρόμοιες περιπτώσεις.

Τελικα πηρε θεση και η ΕΜΕ σε αυτο ακριβως το θεμα με σημερινη της απαντηση:
http://www.hms.gr/sites/default/files/n ... M_A4b..pdf

Η οποια αναφερει αυτο που ελεγα οτι πρεπει να δωθουν ολες οι μοναδες σε μια τετοια περιπτωση.

βεβαια η πραγματικη μου αποψη ειναι οτι πρεπει να δωθουν ολες οι μοναδες πλην εναν αριθμο Χ μοναδων που ομως λογω του τετριμμενου του θεματος, το Χ θα πρεπει να ειναι τετοιο(τοσο μικρο), που μετα τις στρογγυλοποιησεις(του 3-Χ) να μην επηρεαζει και να δωθουν και οι 3 μοναδες.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #56

λύση για το Γ2 που έχει ξεφύγει.

Είναι για x>1

για

είναι $f'(x)=e^{x-1}+1>0$

Επίσης από το προηγούμενο ερώτημα

f'(1)=2

Αρα για $x\in \mathbb{R}$

είναι f'(x)>0

Αρα από το ερώτημα Α3 η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Δηλαδή δεν χρειάζεται η πρόταση του σχολικού σελ...κλπ

#57

gbaloglou έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 14, 2019 4:27 pm

paylos έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 12, 2019 11:49 pm

silouan έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 12, 2019 2:20 pm

paylos έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 12, 2019 9:26 am
Η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε ανισοϊσότητα. Δεν θα πρέπει να απαντήσουμε πότε ισχύει το ίσον;
Όχι, δεν προβλέπεται κάτι τέτοιο. Επίσης το ίσον δεν ισχύει.
Πως μπορείς να αποδείξεις ότι δεν ισχύει το ίσον;

Από ΘΜΤ στο $\left [ \lambda ,\lambda +1 \right ]$ έχουμε ότι $f'\left ( \xi \right )\geq -1$ .

Πως μπορείς να αποκλείσεις τη δυνατότητα να είναι $\xi =1$ ώστε να ισχύει $f'\left ( \xi \right )=-1$ .

Αυτό μπορείς να το διαπιστώσεις μόνο γραφικά.
Ή επίσης από την κλπ -- σημείο καμπής, οπότε η εφαπτομένη εκεί διαπερνά την καμπύλη και δεν μπορεί να είναι παράλληλη προς οποιαδήποτε χορδή της.

Ακριβέστερα ... απαιτούνται KAI οι f''(x)<0

για

,

για

, ξεκάθαρες από την $f''(x)=\dfrac{2(x-1)(x^2-2x+4)}{(x^2-2x+2)^2}$ .

KARKAR · #58

Για το Γ3ι) : Η

αφού έχει σύνολο τιμών το

και είναι γνησίως αύξουσα θα έχει μοναδική ρίζα .

Αυτή δεν μπορεί να είναι στο $[1, +\infty)$ , αφού x^2+1>0

, αλλά ούτε και στο [0,1)

, αφού

και : $e^{x-1}+x>0$ , άρα υποχρεωτικά είναι αρνητική .

Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Μέλη σε σύνδεση