Παραλληλία με μέσον

#1

: Παραλληλία με μέσον.png (24.9 KiB) Προβλήθηκε 1715 φορές

Σε τετράπλευρο ABCD

που δεν είναι τραπέζιο, οι πλευρές AB, CD

είναι ίσες και οι προεκτάσεις τους τέμνονται στο

Αν

είναι τα μέσα των AD,BC,

α) να δείξετε ότι η διχοτόμος της $B\widehat SC$ είναι παράλληλη της MN.

β) Εξωτερικά του τετραπλεύρου κατασκευάζουμε τα ίσα τρίγωνα ABE, CDF

με

Να δείξετε ότι

η

διέρχεται από το μέσον του EF.

#2

george visvikis έγραψε: Σάβ Ιουν 22, 2019 10:35 am Παραλληλία με μέσον.png
Σε τετράπλευρο που δεν είναι τραπέζιο, οι πλευρές είναι ίσες και οι προεκτάσεις τους τέμνονται στο

Αν είναι τα μέσα των α) να δείξετε ότι η διχοτόμος της $B\widehat SC$ είναι παράλληλη της

β) Εξωτερικά του τετραπλεύρου κατασκευάζουμε τα ίσα τρίγωνα με Να δείξετε ότι

η διέρχεται από το μέσον του

Φέρτε το συμμετρικό του

ως προς το

και θα τα "δείτε" όλα !

Al.Koutsouridis · #3

george visvikis έγραψε: Σάβ Ιουν 22, 2019 10:35 am Παραλληλία με μέσον.png
Σε τετράπλευρο που δεν είναι τραπέζιο, οι πλευρές είναι ίσες και οι προεκτάσεις τους τέμνονται στο

Αν είναι τα μέσα των α) να δείξετε ότι η διχοτόμος της $B\widehat SC$ είναι παράλληλη της

β) Εξωτερικά του τετραπλεύρου κατασκευάζουμε τα ίσα τρίγωνα με Να δείξετε ότι

η διέρχεται από το μέσον του

α) Θα χρησιμοποιήσουμε ως λήμμα την άσκηση εδώ. Έστω

και

τα μέσα των τόξων BSC

και

αντίστοιχα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου BSC

. Σύμφωνα με το παραπάνω λήμμα τα σημεία S,D,A,K

είναι ομοκυκλικά και ισχύει $\angle DSA =\angle DKA =\angle CKB$ . Επομένως τα ισοσκελή τρίγωνα DKA

και

είναι όμοια. Άρα θα είναι όμοια και τα ορθογώνια τρίγωνα MKA

και

και ισχύει $\angle MKA = \angle NKB$ .

Είναι $\angle MKN = \angle MKA-\angle NKA= \angle NKB-\angle NKA= \angle BKA$ . Από την ομοιότητα των MKA

και

έχουμε $\dfrac{KM}{KN} =\dfrac{KN}{KB}$ και εφόσον $\angle MKN =\angle BKA$ , τα τρίγωνα KMN

και

είναι όμοια. Οπότε $\angle MNK = \angle ABK = \angle SLK$ . Δηλαδή MN|| SL

όπως θέλαμε.

: parallhlia_me_meson.png (42.68 KiB) Προβλήθηκε 1618 φορές

β) Ας είναι

το σημείο τομής των ευθειών

και

και $F^{\prime}$ και $E^{\prime}$ τα σημεία τομής των παραλλήλων από το σημείο

, προς τις

και

αντίστοιχα. Έστω

η διχοτόμος της γωνίας BQC

, όπου

το σημείο της ευθείας $SE^{\prime}$ .

Εφαρμόζοντας το ερώτημα (α) στο τετράπλευρο BEFC

και το σημείο

, έχουμε ότι η

είναι παράλληλη προς την $NP^{\prime}$ . Όπου $P^{\prime}$ το μέσο του τμήματος

.

Έχούμε επίσης $\angle E^{\prime}TQ=180^{0}-\angle SE^{\prime}Q-\angle E^{\prime}QT$ (1) και

$\angle CSB +2\angle SE^{\prime}Q +2\angle BST + \angle E^{\prime}QF^{\prime} =360^0 \Rightarrow$

$\dfrac{\angle CSB}{2} +\angle SE^{\prime}Q + \angle BST+ \dfrac{\angle E^{\prime}QF^{\prime}}{2} =180^{0} \Rightarrow$

$\dfrac{\angle CSB}{2} + \angle BST = 180^{0} -\angle SE^{\prime}Q -\angle E^{\prime}QT$ (2)

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι QT||SL

. Και εφόσον από σημείο εκτός ευθείας άγεται μοναδική παράλληλη προς την ευθεία το μέσο $P^{\prime}$ του τμήματος

θα ανήκει στην

.

Altrian · #4

Καλησπέρα σε όλους.

α) Φέρνουμε $AK=\left | \right |DC\Rightarrow$ ADCK

παρ/μο και $\bigtriangleup ALK$ ισοσκελές. Φέρνουμε $AH\left | \right |$ προς την διχοτόμο της

.
Επειδή

μέσο της $LK\Rightarrow NH=\left | \right |\dfrac{CK}{2}=\left | \right |AM\Rightarrow AH=\left | \right |MN$ . Δηλ. η διχοτόμος της $S \left | \right |MN$ .

β). Μπορούμε να εφαρμόσουμε το α) στο τετράπλευρο AEDF

(συγκεκριμένα το αντίστροφο πρόβλημα που προκύπτει εύκολα).

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #5

Γειά σας !
Μία ακόμη για το α)
Απο τα

και

φέρω κάθετες στην διχοτόμο της $\widehat{S}$ που την τέμνουν στα

και

αντίστοιχα , και την

στα

και

αντίστοιχα. Είναι $KB=DC=TK\Rightarrow TA=KB$ .
Φέρω τα τμήματα

και

. Επειδή τα Q,M

είναι μέσα των DT,DA

και

είναι μέσα των CK,CB

αντίστοιχα, ένω TA=KB

, θα είναι $QM\parallel =\dfrac{TA}{2}=\dfrac{KB}{2}\parallel =LN$ , δηλαδή το τετράπλευρο MNLQ

είναι παραλληλόγραμμο, άρα $MN\parallel QL$

#6

Για το (β) ζητούμενο.

Κατασκευάζουμε το τρίγωνο $\vartriangle DST$ με $DS\parallel = AE$ και $DT\parallel = AB$ και έστω $K,\ L,\ M,\ N,\ P$ , τα μέσα των $FS,\ CT,\ AD,\ BC,\ FE$ , αντιστοίχως.

: Παραλληλία με μέσον - Απόδειξη του (β) ζητούμενου.; f 178_t 64716.PNG (29.68 KiB) Προβλήθηκε 1509 φορές

Από το σχήμα τώρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, προκύπτει άμεσα ότι τα σημεία $M,\ P,\ N$ είναι συνευθειακά, λόγω $DM\parallel = KP\parallel = LN$ και το (β) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

#7

george visvikis έγραψε: Σάβ Ιουν 22, 2019 10:35 am Παραλληλία με μέσον.png
Σε τετράπλευρο που δεν είναι τραπέζιο, οι πλευρές είναι ίσες και οι προεκτάσεις τους τέμνονται στο

Αν είναι τα μέσα των α) να δείξετε ότι η διχοτόμος της $B\widehat SC$ είναι παράλληλη της

β) Εξωτερικά του τετραπλεύρου κατασκευάζουμε τα ίσα τρίγωνα με Να δείξετε ότι

η διέρχεται από το μέσον του

: Παραλληλία με μέσον.png (44.88 KiB) Προβλήθηκε 1467 φορές

Ας δούμε και μια αντιμετώπιση με τη Θεωρία των μέσων (Μανώλης Γεωργακάκης)

Έστω τα συμμετρικά των ως προς το μέσο της . Τότε

α) Προφανώς λόγω του σχηματιζόμενου παραλληλογράμμου (οι διαγώνιες διχοτομούνται) θα είναι

$BS \equiv AB\parallel KC \Rightarrow \angle TSD\mathop = \limits^{\delta \iota \chi o\tau o\mu o\varsigma } \dfrac{{\angle CSA}}{2}\mathop = \limits^{SB\parallel KC}$ $\dfrac{{\angle XCK}}{2}\mathop = \limits^{CD = CK = AB} \angle CDK \Rightarrow ST\parallel DK\mathop \parallel \limits^{M,N\,\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,\,\tau \omega \nu \,\,AD,AK} MN$

β) Από τα σχηματιζόμενο παραλληλόγραμμο και την ισότητα των τριγώνων $\vartriangle ABE,\vartriangle DCF$ θα είναι: προκύπτει ότι $\angle FKD=\angle LKD,\angle DFL=\angle KLF$ (άθροισμα γωνιών) οπότε

$FL\parallel DK\left( {\angle KDF + \angle DFL = {{180}^0}} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{MN\parallel DK}$ $MN\parallel FL \Rightarrow NP\parallel FL\mathop \Rightarrow \limits^{N\,\,\mu \varepsilon \sigma o\,\,\tau \eta \varsigma \,\,EL} P$ μέσο της και όλα τα ζητούμενα έχουν αποδειχθεί.

Στάθης

Παραλληλία με μέσον

Παραλληλία με μέσον

Re: Παραλληλία με μέσον

Re: Παραλληλία με μέσον

Re: Παραλληλία με μέσον

Re: Παραλληλία με μέσον

Re: Παραλληλία με μέσον

Re: Παραλληλία με μέσον

Μέλη σε σύνδεση