Το παράξενο πολύγωνο

[Al.Koutsouridis]

Να σχεδιάσετε ένα πολύγωνο και σημείο εκτός αυτού έτσι ώστε, κάθε ευθεία που διέρχεται από το , να το διαιρεί σε δυο κομμάτια ίσου εμβαδού.




Πηγή: Το ρωσικό περιοδικό "Μαθηματικά στο σχολείο" , 2006 τεύχος 4. Ψηφίστηκε από τους αναγνώστες ως πρόβλημα της χρονιάς.

[sakis1963]

Να κάνω μια προσπάθεια ...

450px-Weakly_simple_polygon.svg.png (7.46 KiB) Προβλήθηκε 2466 φορές

Αν το πολύγωνο είναι του παραπάνω "τύπου" (όπως ορίζεται εδώ) και το κέντρο των τετραγώνων ( το οποίο είναι "εξωτερικό" του ABCDEFGHJKLMDA τότε, λόγω κεντρικής συμμετρίας, κάθε ευθεία διερχόμενη από το διαιρεί το πολύγωνο σε 2 ισοδύναμα τμήματα.

Αν τα παραπάνω είναι σωστά, τότε ισχύουν και για κάθε "2γραμμο" κανονικό 2ν-γωνο του παραπάνω τύπου.

[KARKAR]

TRIP.png (5.26 KiB) Προβλήθηκε 2416 φορές

Με κάτι τέτοια κόλπα ο Κολόμβος ανακάλυψε την Αμερική ( και έστησε το αυγό ! )

[Mihalis_Lambrou]

Χαριτωμένες και οι δύο απαντήσεις αλλά δεν νομίζω ότι μπορούν να γίνουν δεκτές. Σίγουρα το προταθέν σχήμα δεν είναι πολύγωνο. Π.χ. σε ένα πολύγωνο πρέπει να μπορείς να αρχίσεις από οποιαδήποτε κορυφή και περπατώντας πάνω στην περίμετρο, να επιστρέψεις στο ίδιο σημείο χωρίς να διασχίσεις δύο φορές κάποιο μέρος του. Επίσης το εξωτερικό ενός πολυγώνου είναι συνεκτικό (υπάρχει γραμμή που ενώνει οποιαδήποτε σημεία σημεία του που βρίσκεται εξ ολοκλήρου στο εξωτερικό).

Αν επιτρέπαμε "weak polygons" όπως στην πρώτη λύση τότε ένα ευθύγραμμο τμήμα θα έκανε την δουλειά. Σε αυτή την περίπτωση κάθε τέμνουσα (όχι μόνο από δοθέν σημείο ) το χωρίζει σε δύο ίσα (μηδενικού εμβαδού) μέρη. Οπότε γιατί παιδευόμαστε.

Νομίζω ότι όλοι συμφωνούμε ότι αν σου ζητήσω μία άσκηση πάνω σε οκτάγωνο, σίγουρα δεν εννούμε κανένα από τα παρακάτω τέσσερα σχήματα.

[Al.Koutsouridis]

Αν το πολύγωνο είναι του παραπάνω "τύπου" (όπως ορίζεται εδώ)

Το πρόβλημα αναφέρεται για simple polygon σύμφωνα με τους ορισμούς στο αναφερθέν σύνδεσμο. Ή και στο σχολικό ορισμό της απλής κλειστής τεθλασμένης.

Π.χ. σε ένα πολύγωνο πρέπει να μπορείς να αρχίσεις από οποιαδήποτε κορυφή και περπατώντας πάνω στην περίμετρο, να επιστρέψεις στο ίδιο σημείο χωρίς να διασχίσεις δύο φορές κάποιο μέρος του. Επίσης το εξωτερικό ενός πολυγώνου είναι συνεκτικό (υπάρχει γραμμή που ενώνει οποιαδήποτε σημεία σημεία του που βρίσκεται εξ ολοκλήρου στο εξωτερικό).

Ναι νομίζω ψάχνουμε ένα πολύγωνο που έχει τα παραπάνω χαρακτηριστικά. Όπως ωραία λέει ο σύνδεσμος, να είναι τοπολογικά ισοδύναμος με κύκλο(κυκλικό δίσκο) και όχι δακτύλιο.

[Al.Koutsouridis]

Βάζω την λύση που εμφανίστηκε σε παρακάτω τεύχος του περιοδικού. Στο σχήμα απεικονίζεται τετράγωνο , που αποτελείται από ένωση τεσσάρων ισοσκελών τραπεζίων , , και . Τα τμήματα και είναι γειτονικές πλευρές ενός τετραγώνου, τα σημεία και ανήκουν στην μία διαγώνιό του και τα σημεία και στην άλλη διαγώνιο αυτού του τετραγώνου.

Αφήνεται ως άσκηση να βρεθούν οι διαστάσεις του πολυγώνου

Υπάρχουν και άλλα πολύγωνα με αυτή την ιδιότητα για όποιον θέλει να τα ανακαλύψει.

Screen Shot 2019-08-05 at 20.50.17.png (83.11 KiB) Προβλήθηκε 1936 φορές