Εύρεση ορίου γνωρίζοντας την παράγωγο

skywalker13 · #1

Εχω αυτήν την άσκηση και μου φαίνεται κάπως κουλή

Στις απαντήσεις δίνει μια εντελώς άκυρη λύση. Μπορείτε να σκεφτείτε καποιον νορμαλ τρόπο λύσης?
Η ασκηση λέει:
Εστω η παραγωγισιμη συναρτηση f:R->R για την οποια ισχύει $f'\left(x \right)=e^{x^{2}}$
Να αποδείξετε ότι $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +oo}f\left(x \right)=+oo$

ΥΓ. Το +οο στο λατεξ πως ειναι?

Ευχαριστώ

Ωmega Man · #2

Μπορείς να γράψεις την "άκυρη λύση"; Το άπειρο είναι \infty. Από το $\bf f'(x)=e^{x^2}>0$ για κάθε $x \in\mathbb{R}$ έπεται $\bf f$ γνησίως αύξουσα. Μήπως να έδειχνες ότι $\bf f$ όχι φραγμένη;

#3

Για κάθε

, υπάρχει

τέτοιο ώστε

$\displaystyle{\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(c_x)=e^{{c_x}^2}>e^0=1}$ ,

οπότε

$\displaystyle{f(x)>x+f(0)}$ ,

και

$\displaystyle{\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

mathxl · #4

Μήπως η λύση που είδες (η άκυρη) μοιάζει με αυτήν εδώ viewtopic.php?f=5&t=193&start=0 (η λύση είναι το τρίτο μήνυμα στην δημοσίευση);

skywalker13 · #5

H λυση μάλλον μου φανηκε εμενα ακυρη, τελικά δεν ήταν και τόσο. Ειναι αυτη του κυρίου Αχιλλέα. Απλά στην υπόδειξη του βοηθήματος πετούσε στο ξεκαρφωτο ότι πρεπει να δείξω πως καθε συναρτηση με παράγωγο μεγαλύτερη της μονάδας έχει $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left(x \right)=+\infty$ χρησιμοποιώντας ΘΜΤ.
Και μιας και αναφέρθηκε πως εξετάζω αν μια συνάρτηση είναι φραγμένη?

S.E.Louridas · #6

«Έστω η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση
$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\mu \varepsilon \;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f{'} \left( x \right) = k,o\tau \alpha \nu \;k \in \mathbb{R}_ + ^ * \cup \left\{ { + \infty } \right\}.$
Τότε θα υπάρχει θετικός πραγματικός αριθμός α ,τέτοιος που
$\left( {\forall x \in \left( {\alpha , + \infty } \right)} \right)\left( {f{'} \left( x \right) > 0} \right).$
Άρα στο διάστημα
$\left[ {\alpha , + \infty } \right)$ η f θα είναι γνησίως αύξουσα.
Στην περίπτωση που η f είναι φραγμένη άνω θα συγκλείνει σε κάποιον πραγματικό αριθμό, έστω $\ell$ , οπότε
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( {x + 1} \right) = \ell .$
Επειδή στο τυχόν διάστημα
$\left[ {x,x + 1} \right] \subset \left( {\alpha , + \infty } \right),$
εφαρμόζεται το Θεώρημα Της Μέσης Τιμής θα έχουμε:
$\exists \xi \in \left( {x,x + 1} \right),\tau \varepsilon \tau o\iota o\;\omega \sigma \tau \varepsilon \;f{'} \left( \xi \right) = f\left( {x + 1} \right) - f\left( x \right),$
πράγμα που οδηγεί στην ισότητα
$\mathop {\lim }\limits_{\xi \to + \infty } f{'} \left( \xi \right) = 0,$
πράγμα άτοπο. Επομένως η f δεν είναι φραγμένη άνω.
Επειδή η f δεν είναι φραγμένη άνω θα υπάρχει θετικός η ,ώστε:
$\forall \varepsilon > \eta ,\exists x_0 > \alpha :f\left( {x_0 } \right) > \varepsilon .$
Αυτό οδηγεί (f γνήσια αύξουσα στο $\left( {\alpha , + \infty } \right)$ )
στην διαπίστωση: για κάθε ε>η θα υπάρχει $x_0 > \alpha$ ,ώστε
$f\left( x \right) > f\left( {x_0 } \right) > \varepsilon ,\gamma \iota \alpha \;\kappa \alpha \theta \varepsilon \;x > x_0 .$
Συνεπώς καταλήγουμε στην σχέση: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty$ ».
Ας χαρακτηριστεί ο πιο πάνω συλλογισμός χρησιμοποιώντας έναν από τους χαρακτηρισμούς ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ.

S.E.Louridas

skywalker13 · #7

Μερικα απο αυτά που γραφετε ειναι εκτός ύλης οπότε δεν τα καταλαβαίνω ακριβώς, αλλά την συλλογιστική σας πορεία την εχω καταλάβει. Τελικά ειναι σωστό ή λάθος αυτό που γράψατε?

Ωmega Man · #8

Η λύση του Αχιλλέα είναι εντός ύλης ΘΜΤ χρησιμοποίησε, αυτήν να έχεις στο μυαλό σου μην μπερδευτείς.

skywalker13 · #9

Στην απαντηση του S.E.Louridas αναφερόμουν? Είναι σωστή?

Ωmega Man · #10

skywalker13 έγραψε:Στην απαντηση του S.E.Louridas αναφερόμουν? Είναι σωστή?

Σωστότατη είναι και εγώ αυτό σου είπα , να έχεις στο μυαλό σου την λύση του Αχιλλέα που είναι μέσα σε σχολικά πλαίσια.

Εύρεση ορίου γνωρίζοντας την παράγωγο

Εύρεση ορίου γνωρίζοντας την παράγωγο

Re: Εύρεση ορίου γνωρίζοντας την παράγωγο

Re: Εύρεση ορίου γνωρίζοντας την παράγωγο

Re: Εύρεση ορίου γνωρίζοντας την παράγωγο

Re: Εύρεση ορίου γνωρίζοντας την παράγωγο

Re: Εύρεση ορίου γνωρίζοντας την παράγωγο

Re: Εύρεση ορίου γνωρίζοντας την παράγωγο

Re: Εύρεση ορίου γνωρίζοντας την παράγωγο

Re: Εύρεση ορίου γνωρίζοντας την παράγωγο

Re: Εύρεση ορίου γνωρίζοντας την παράγωγο

Μέλη σε σύνδεση