Ορθόκεντρο ισοσκελούς

[KARKAR]

Ορθόκεντρο ισοσκελούς.png (13.12 KiB) Προβλήθηκε 736 φορές

Το τρίγωνο , με , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Το σημείο είναι

το αντιδιαμετρικό του και το , το μέσο της . Η τέμνει το ύψος στο .

Δείξτε ότι το σημείο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου .

[ksofsa]

Καλησπέρα!

Εστω το αντιδιαμετρικό του.

Είναι και

Αρα

Τα τρίγωνα και είναι ίσα, διότι

έχουν ίσες γωνίες και .

Αρα .

Είναι , διότι και .

κι επειδή είναι .

Αφού και , είναι ,

ιδιότητα που εξασφαλίζει ότι το ορθόκεντρο.

[ksofsa]

Άλλη μια λύση:


Συνεχίζω από το σημείο που έδειξα ότι .

Τότε , διότι κέντρο του και κέντρο του .

Αφού θα είναι και το ορθόκεντρο.

[ksofsa]

Ακόμα μία λύση:

Συνεχίζω από το σημείο που έδειξα ότι

Εστω το βαρύκεντρο του

Εύκολα βλέπουμε ότι το είναι βαρύκεντρο και του .

Αρα και το ορθόκεντρο (ευθεία Euler).

[Doloros]

Ορθόκεντρο ισοσκελούς.pngΤο τρίγωνο , με , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Το σημείο είναι

το αντιδιαμετρικό του και το , το μέσο της . Η τέμνει το ύψος στο .

Δείξτε ότι το σημείο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου .

Ορθόκεντρο ισοσκελούς.png (31.46 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές

Φέρνω από το παράλληλη στην και τέμνει ακόμα τον κύκλο στο .

Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο κι αφού το είναι μέσο της μιας βάσης του θα είναι



Αβίαστα τώρα προκύπτουν τα τρίγωνα ίσα , οπότε .

Έτσι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο , οπότε η ως παράλληλη

της θα είναι κι αυτή κάθετη στην . Προφανώς τώρα το είναι ορθόκεντρο του .