Εκθετική κυρτότητα

#1

Για $x\geq1$ ας είναι f(x)

ο μοναδικός πραγματικός για τον οποίο ισχύει η $f(x)^{f(x)}=x$ . Να μελετηθεί η

ως προς την κυρτότητα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

gbaloglou έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 22, 2019 10:55 pm
Για $x\geq1$ ας είναι ο μοναδικός πραγματικός για τον οποίο ισχύει η $f(x)^{f(x)}=x$ . Να μελετηθεί η ως προς την κυρτότητα.

Υποθέτω ότι θεωρείς δεδομένη την παραγωγισιμότητα της

.

Εχουμε $\displaystyle e^{f(x)\ln f(x)}=x$

παραγωγίζοντας παίρνουμε

$\displaystyle e^{f(x)\ln f(x)}(f'(x)\ln f(x)+f'(x))=1$

και ξανά παραγωγίζοντας

$\displaystyle e^{f(x)\ln f(x)}(f'(x)\ln f(x)+f'(x))^{2}+$
$e^{f(x)\ln f(x)}(f''(x)\ln f(x)+f''(x)+\frac{(f'(x))^{2}}{f(x)})=0$

Επειδή για x>1

είναι

άμεσα προκύπτει ότι είναι f''(x)<0

.
Αρα είναι κοίλη όπως αναμενόταν.

#3

μια παρατήρηση
αν η αντίστροφη είναι αύξουσα και κυρτή η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη(θέλει απόδειξη)
Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη
Εδώ η αντίστροφη είναι η $\displaystyle{f^{-1}(x)=x^x,x>1}$ που πληρεί τις προϋποθέσεις άρα...

#4

R BORIS έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 23, 2019 10:03 am
μια παρατήρηση
αν η αντίστροφη είναι αύξουσα και κυρτή η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη(θέλει απόδειξη)
Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη
Εδώ η αντίστροφη είναι η $\displaystyle{f^{-1}(x)=xe^x,x>1}$ που πληρεί τις προϋποθέσεις άρα...

Ροδόλφε δεν σε παρακολουθώ, για παράδειγμα η συνάρτηση σου στέλνει το 3 στο 60,25, ενώ η δική μου συνάρτηση στέλνει το 60,25 στο 3,37 -- δεν φαίνονται δηλσδή να είναι αντίστροφες η μία της άλλης...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 25, 2019 6:33 pm

R BORIS έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 23, 2019 10:03 am
μια παρατήρηση
αν η αντίστροφη είναι αύξουσα και κυρτή η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη(θέλει απόδειξη)
Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη
Εδώ η αντίστροφη είναι η $\displaystyle{f^{-1}(x)=xe^x,x>1}$ που πληρεί τις προϋποθέσεις άρα...
Ροδόλφε δεν σε παρακολουθώ, για παράδειγμα η συνάρτηση σου στέλνει το 3 στο 60,25, ενώ η δική μου συνάρτηση στέλνει το 60,25 στο 3,37 -- δεν φαίνονται δηλσδή να είναι αντίστροφες η μία της άλλης...

Πρέπει να είναι τυπογραφικό Γιώργο.

Η αντίστροφη είναι η $f^{-1}(x)=x^{x}=e^{x \ln x},x> 1$

#6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 25, 2019 8:11 pm

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 25, 2019 6:33 pm

R BORIS έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 23, 2019 10:03 am
μια παρατήρηση
αν η αντίστροφη είναι αύξουσα και κυρτή η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη(θέλει απόδειξη)
Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη
Εδώ η αντίστροφη είναι η $\displaystyle{f^{-1}(x)=xe^x,x>1}$ που πληρεί τις προϋποθέσεις άρα...
Ροδόλφε δεν σε παρακολουθώ, για παράδειγμα η συνάρτηση σου στέλνει το 3 στο 60,25, ενώ η δική μου συνάρτηση στέλνει το 60,25 στο 3,37 -- δεν φαίνονται δηλσδή να είναι αντίστροφες η μία της άλλης...
Πρέπει να είναι τυπογραφικό Γιώργο.

Η αντίστροφη είναι η $f^{-1}(x)=x^{x}=e^{x \ln x},x> 1$

Σταύρο πολύ σωστά, σ' ευχαριστώ, όπως και για την λύση σου (το ίδιο και τον Ροδόλφο).

#7

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 25, 2019 11:29 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 25, 2019 8:11 pm

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 25, 2019 6:33 pm

R BORIS έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 23, 2019 10:03 am
μια παρατήρηση
αν η αντίστροφη είναι αύξουσα και κυρτή η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη(θέλει απόδειξη)
Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη
Εδώ η αντίστροφη είναι η $\displaystyle{f^{-1}(x)=xe^x,x>1}$ που πληρεί τις προϋποθέσεις άρα...
Ροδόλφε δεν σε παρακολουθώ, για παράδειγμα η συνάρτηση σου στέλνει το 3 στο 60,25, ενώ η δική μου συνάρτηση στέλνει το 60,25 στο 3,37 -- δεν φαίνονται δηλσδή να είναι αντίστροφες η μία της άλλης...
Πρέπει να είναι τυπογραφικό Γιώργο.

Η αντίστροφη είναι η $f^{-1}(x)=x^{x}=e^{x \ln x},x> 1$
Σταύρο πολύ σωστά, σ' ευχαριστώ, όπως και για την λύση σου (το ίδιο και τον Ροδόλφο).

Ας δούμε λίγο το λήμμα που χρησιμοποίησε ο Ροδόλφος στην πολύ όμορφη απόδειξη του:

Λήμμα: Αν η

είναι αύξουσα και κυρτή τότε η $f^{-1}$ είναι κοίλη.

Απόδειξη: θέτοντας $g=f^{-1}$ , λαμβάνουμε από την f(g(x))=x

τις $f'(g(x))\cdot g'(x)=1$ και $f''(g(x))\cdot g'(x)^2+f'(g(x))\cdot g''(x)=0$ , οπότε από τις f'(g(x))>0

και

προκύπτει η ζητούμενη g''(x)<0

.

[Παρατηρούμε ενδιαφέρουσες, ενδεχομένως αναπόφευκτες, ομοιότητες ανάμεσα στις δύο αποδείξεις (Ροδόλφου και Σταύρου). Την δική μου απόδειξη την θυμάμαι πιο μπλεγμένη, αλλά και με ένα αρκετά ενδιαφέρον λήμμα: δυστυχώς και απροόπτως δεν καταφέρνω να την αναπαράξω, αν και όταν θυμηθώ κάτι ενδιαφέρον θα επανέλθω.]

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 02, 2019 4:25 pm

Ας δούμε λίγο το λήμμα που χρησιμοποίησε ο Ροδόλφος στην πολύ όμορφη απόδειξη του:

Λήμμα: Αν η είναι αύξουσα και κυρτή τότε η $f^{-1}$ είναι κοίλη.

Απόδειξη: θέτοντας $g=f^{-1}$ , λαμβάνουμε από την τις $f'(g(x))\cdot g'(x)=1$ και $f''(g(x))\cdot g'(x)^2+f'(g(x))\cdot g''(x)=0$ , οπότε από τις και προκύπτει η ζητούμενη .

[Παρατηρούμε ενδιαφέρουσες, ενδεχομένως αναπόφευκτες, ομοιότητες ανάμεσα στις δύο αποδείξεις (Ροδόλφου και Σταύρου). Την δική μου απόδειξη την θυμάμαι πιο μπλεγμένη, αλλά και με ένα αρκετά ενδιαφέρον λήμμα: δυστυχώς και απροόπτως δεν καταφέρνω να την αναπαράξω, αν και όταν θυμηθώ κάτι ενδιαφέρον θα επανέλθω.]

Ας το δούμε και χωρίς να υποθέσουμε παραγωγισιμότητα. (εκτός φακέλλου)
Είναι γνωστό ότι η $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$
είναι κυρτή αν
$x_{1},x_{2}\in [a,b],0<t<1\Rightarrow tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})\geq f(tx_{1}+(1-t)x_{2})$
και κοίλη αν ισχύει η ανάποδη ανισότητα.

Θα δείξω ότι

Αν $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ είναι ,γνησίως αύξουσα και κυρτή
τότε η $f^{-1}:f([a,b])\rightarrow [a,b]$
είναι κοίλη.
Απόδειξη.
Εστω $y_{1}=f(x_{1}),y_{2}=f(x_{2}),0<t<1$

Επειδή η

είναι κυρτή ισχύει

$f(tf^{-1}(y_{1})+(1-t)f^{-1}(y_{2}))\leq ty_{1}+(1-t)y_{2}$

Επειδή και η $f^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα αν την εφαρμόσουμε στην τελευταία δίνει

$tf^{-1}(y_{1})+(1-t)f^{-1}(y_{2})\leq f^{-1}(ty_{1}+(1-t)y_{2})$

που δείχνει ότι η $f^{-1}$ είναι κοίλη.

Εκθετική κυρτότητα

Εκθετική κυρτότητα

Re: Εκθετική κυρτότητα

Re: Εκθετική κυρτότητα

Re: Εκθετική κυρτότητα

Re: Εκθετική κυρτότητα

Re: Εκθετική κυρτότητα

Re: Εκθετική κυρτότητα

Re: Εκθετική κυρτότητα

Μέλη σε σύνδεση