Άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων

#1

Να αποδείξετε αλγεβρικά και να αιτιολογήσετε γεωμετρικά την ισότητα

$\displaystyle{ \int _0^1e^{x^2} \,dx +\int _{1}^e\sqrt {\ln x} \, dx = e}$

Ομοίως την

$\displaystyle{ \int _0^1e^{-x^2} \,dx - \int _{1/e}^1 \sqrt {-\ln x} \, dx = \dfrac {1}{e}}$

KARKAR · #2

: e.png (13.02 KiB) Προβλήθηκε 2101 φορές

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Δεκ 26, 2019 2:54 pm Να αποδείξετε αλγεβρικά και να αιτιολογήσετε γεωμετρικά την ισότητα

$\displaystyle{ \int _0^1e^{x^2} \,dx +\int _{1}^e\sqrt {\ln x} \, dx = e}$

Ομοίως την

$\displaystyle{ \int _0^1e^{-x^2} \,dx - \int _{1/e}^1 \sqrt {-\ln x} \, dx = \dfrac {1}{e}}$

Kάνω το πρώτο.

Οι $e^{x^2},\sqrt{\ln x}$ είναι αντίστροφες συναρτήσεις μπορούμε να δούμε εύκολα.

Έστω $f(x)=e^{x^2}.$

Θεωρώντας την αλλαγή μεταβλητής x=f(y)

στο δεύτερο ολοκλήρωμα παίρνουμε

$\displaystyle \int _0^1e^{x^2} \,dx +\int _{0}^1 2y^2e^{y^2} dy= \int _0^1(2x^2+1)e^{x^2}dx.$

Είναι τώρα $\displaystyle \int _0^1e^{x^2}dx =\int _0^1{(x)}'e^{x^2}dx=e- \int _0^1 2x^2e^{x^2}dx$

και επομένως $\displaystyle \int _0^1(2x^2+1)e^{x^2}dx=e.$

Για τη γεωμετρική ερμηνεία έχουμε ότι το άθροισμα εκφράζει το εμβαδόν του ορθογωνίου με κορυφές τα

(0,0),(1,0),(1,e),(0,e)

.

Η άσκηση ισχύει και σε γενικότερο πλαίσιο χωρίς καμιά υπόθεση παραγωγισιμότητας

(που χρησιμοποίησα εδώ). Απλή συνέχεια και μονοτονία χρειάζεται και άνω κάτω αθροίσματα Darboux.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Απλά να θυμίσω ότι η πρώτη ισότητα που προτείνει ο Μιχάλης ήταν η 12η ερώτηση του ΑΣΕΠ Μαθηματικών του 2002.
Δεν θα ξεχάσω αυτήν την ημέρα...

#5

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Πέμ Δεκ 26, 2019 5:20 pm Απλά να θυμίσω ότι η πρώτη ισότητα που προτείνει ο Μιχάλης ήταν η 12η ερώτηση του ΑΣΕΠ Μαθηματικών του 2002.
Δεν θα ξεχάσω αυτήν την ημέρα...

Τηλέμαχε, δεν το θυμόμουν. Αλλά τι σύμπτωση, γιατί την παραπάνω άσκηση την έφτιαξα μόνος μου. Ακριβέστερα, πρώτα έφτιαξα την δεύτερη και μετά την απλοποίησα κάπως για να βλέπουμε θετικούς. Φαίνεται ότι το μυαλό κρατά στο υποσυνείδητο πράγματα που έχει δει, και τα φέρνει στην επιφάνεια χωρίς να το συνειδητοποιεί...

Επισυνάπτω τα θέματα ΑΣΕΠ 2002. Η άσκηση είναι η 12.

Έχω δύο ερωτήσεις:

α) Ο Διαγωνισμός ήταν Πολλαπλής Επιλογής; Δεν υπήρχαν τότε θέματα πλήρους ανάπτυξης στα Μαθηματικά; Αν είναι έτσι, τι να πω.

β) Στην Άσκηση 3 δεν είμαι βέβαιος τι σημαίνουν οι "τρεις τελίτσες". Δεν αμφιβάλλω ότι ο θεματοθέτης με την παράσταση x^2+x^4+...

εννοεί την άπειρη Γεωμετρική Πρόοδο με πρώτο όρο και λόγο x^2

. Δηλαδή με δύο όρους που μου δίνει πρέπει να μυρίσω τα νύχια μου να κατλάβω ποιος είναι ο επόμενος. Έχω λοιπόν μία (ρητορική) ερώτηση προς τον Θεματοθέτη, αλλά την οποία έπρεπε να αναρτήσω στον φάκελο Διασκεδαστικά Μαθηματικά:

Δίνεται η ακολουθία 2, 4, ... Ποιος είναι ο επόμενος όρος;

Ακόμα καλύτερα: Το πρωί είδα 2 γάτες και το μεσημέρι, 4. Πόσες γάτες είδα το απόγευμα;

Δεν έγινε ντόρος τότε για το Θέμα 3; Υποθέτω όχι γιατί ήταν απλή η ερώτηση, και σίγουρα την έλυσαν όλοι. Για να ήταν καμια ζόρικη, και σου λέω εγώ.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

Mιχάλη , οι συμπτώσεις είναι κομμάτι της ζωής μας...
Όπως είδες , ο διαγωνισμός του 2002 είχε 20 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής , ήταν και λίγο τζόγος. Αντίθετα ο διαγωνισμός του 2000 είχε 8 θέματα εκ των οποίων κάποια ήταν εξαιρετικά εύστοχα.
Θυμάμαι τι γράφτηκε τότε , σε διαβεβαιώνω ότι έγινε ντόρος για την ερώτηση 3. Γράφτηκαν αρκετά επικριτικά σχόλια. Όσο για εμένα, ομολογώ ότι μύρισα τα νύχια μου και κατάλαβα αυτό που εννοούσαν , την γεωμετρική σειρά. Δεν είχα χρόνο για χάσιμο...
Εκεί όμως που έγινε χειρότερος ντόρος ήταν για την ερώτηση 10. Αυτό θυμάμαι.
Πολύ μελάνι χύθηκε για αυτήν την ερώτηση...
Πολλοί θεώρησαν την διατύπωση ασαφή.
Μια άλλη ερώτηση που συγκέντρωσε πολλά πυρά ήταν η 9. Αρκετοί υποψήφιοι δεν κατάλαβαν την μορφή της εξίσωσης της παραβολής και έχασαν χρόνο. Δηλαδή πήραν την εξίσωση $y^{2}=2px$ , που φυσικά παριστάνει παραβολή αλλά που δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης, και σκεφτόντουσαν σε ποια συνάρτηση $f\left ( x \right )$ αναφέρεται η ερώτηση...
Aν κάποιος συγκεντρώσει τα δημοσιεύματα της εποχής και τα σχολιάσει , γράφει εργασία για συνέδριο της Ε.Μ.Ε.

#7

Τηλέμαχε, ευχαριστώ για τις πληροφορίες.

Δεν ξέρω αν πρέπει να κλάψω ή να γελάσω με την προχειρότητα των θεμάτων. Ο φόβος να μην διαρρεύσουν τα θέματα ή μάλλον ο φόβος να μην νομίσει κανείς ότι μπορεί να διαρρεύσουν, ωθεί την Πολιτεία να βγάζει θέματα εν μια νυκτί. Γι' αυτό εμφανίζεται το φαινόμενο της προχειρότητας ή της εμφάνισης συχνά πυκνά εσφαλμένου θέματος. Και στον ΑΣΕΠ έχει συμβεί αυτό, με την εκ των υστέρων ακύρωση κάποτε κάποιου θέματος με τριγωνομετρική εξίσωση.

Και κάτι ακόμα, άσχετο με τα παραπάνω. Αυτά που ακολουθούν δεν τα γράφω ως αρνητικά αλλά ως διαπίστωση:

Πάρα πολλές φορές διαβλέπω ότι οι θεματοθέτες στις Πανελλαδικές και στον ΑΣΕΠ είναι ερευνητές ή ειδικοί στις Διαφορικές Εξισώσεις, πράγμα που επηρεάζει την θεματολογία τους. Είναι άπειρες οι φορές που στα θέματα αναγνωρίζω μία γενικότερη (γνωστή στους ειδικούς) Θεωρία Διαφορικών Εξισώσεων. Για παράδειγμα η Ερώτηση

στα εν λόγω θέματα του 2002

δεν είναι τίποτε άλλο από την περίπτωση της Wronskian για n=2

. Βλέπε π.χ. στην τρίτη γραμμή και επίσης στο σημείο που γράφει Application to linear differential equations στην ιστοσελίδα εδώ. Η συνθήκη της άσκησης

είναι απλά η υπόθεση ότι η Wronskian δεν μηδενίζεται πουθενά, πράγμα που η Θεωρία αξιοποιεί για να αποδείξει (όπως ζητά η Άσκηση

) την ύπαρξη ριζών ανάμεσα σε άλλες.

gianpap · #8

Αν δεν το γνωρίζετε ο γραπτός διαγωνισμός έχει καταργηθεί από την προηγουμένη κυβέρνηση.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #9

gianpap έγραψε: Σάβ Δεκ 28, 2019 5:16 pm Αν δεν το γνωρίζετε ο γραπτός διαγωνισμός έχει καταργηθεί από την προηγουμένη κυβέρνηση.

Ασφαλώς και ξέρουμε ότι ο γραπτός διαγωνισμός του ΑΣΕΠ καταργήθηκε...
Ο τελευταίος έγινε πριν από δέκα και πλέον χρόνια...
Ωστόσο δεν βλάπτει-αντίθετα ωφελεί- το να σχολιάζουμε θέματα των διαγωνισμών αυτών ή θέματα που πιστεύουμε ότι ταιριάζουν στο πνεύμα τους.
Στο mathematica έχουμε λύσει και σχολιάσει πολλά παλιά θέματα εισαγωγικών εξετάσεων ΑΕΙ , θέματα τελείως ξένα με την σημερινή εκπαιδευτική πραγματικότητα.Αναδείξαμε ατέλειες , παραλείψεις αλλά και πανέμορφες ιδέες που πηγάζουν από αυτά.
Δεν είναι προσκόλληση στο παρελθόν , ωφελήθηκαν πολλοί...
Δεν θέλω να γράψω άλλο.
Καληνύχτα.

Άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων

Άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων

Re: Άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων

Re: Άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων

Re: Άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων

Re: Άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων

Re: Άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων

Re: Άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων

Re: Άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων

Re: Άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων

Μέλη σε σύνδεση