Ύπαρξη πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές

#1

Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν πολυώνυμα p_1(x)

,

και

με ρητούς συντελεστές τέτοια ώστε

$\displaystyle x^2+7=\left(p_1(x)\right)^2+\left(p_2(x)\right)^2+\left(p_3(x)\right)^2+\left(p_4(x)\right)^2$

για κάθε πραγματικό αριθμό

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#2

Μία σκέψη για αυτό το πρόβλημα.
Έστω ότι υπάρχουν. Τότε, τα πολυώνυμα στο δεξί μέλος είναι το πολύ πρωτοβάθμια με ρητούς συντελεστές οπότε το p_1(x)

έχει κοινό σημείο είτε με την y=x

είτε με την y=-x

. Ας πούμε ότι έχει με την y=x

και έστω

ώστε

.
Τότε για x=k

στην σχέση παίρνουμε
$\displaystyle{p_2(k)^2+p_3(k)^2+p_4(k)^2=7}$ οπότε το 7 γράφεται ως άθροισμα τετραγώνων τριών ρητών. Αυτό είναι γνωστό ότι είναι αδύνατο. (βλέπε πχ Μεσογειάδα 2003 θέμα 1, που ανάγεται σε αυτό) https://artofproblemsolving.com/community/c267h81259

#3

silouan έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 02, 2020 8:35 pm
Μία σκέψη για αυτό το πρόβλημα.
Έστω ότι υπάρχουν. Τότε, τα πολυώνυμα στο δεξί μέλος είναι το πολύ πρωτοβάθμια με ρητούς συντελεστές οπότε το έχει κοινό σημείο είτε με την είτε με την . Ας πούμε ότι έχει με την και έστω ώστε .
Τότε για στην σχέση παίρνουμε
$\displaystyle{p_2(k)^2+p_3(k)^2+p_4(k)^2=7}$ οπότε το 7 γράφεται ως άθροισμα τετραγώνων τριών ρητών. Αυτό είναι γνωστό ότι είναι αδύνατο. (βλέπε πχ Μεσογειάδα 2003 θέμα 1, που ανάγεται σε αυτό) https://artofproblemsolving.com/community/c267h81259

Καλησπέρα!

Για τον τελευταίο ισχυρισμό, δείτε (το ίδιο πρόβλημα) κι εδώ

Φιλικά,

Αχιλλέας

#4

Δύο λόγια για το προτεινόμενο πρόβλημα:

Το πρόβλημα αυτό το συνάντησα ως ΘΕΜΑ #6 της 62ης Πολωνικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας (2011) με λύσεις εδώ.

Αφού το πρότεινα στο forum, ξεφυλλίζοντας παλιά τεύχη του Crux Mathematicorum, είδα ότι το εξής παρόμοιο πρόβλημα τέθηκε στη Βρετανία σε τεστ επιλογής για την IMO το 2011.

"OC58. Να βρεθεί ο μικρότερος θετικός ακέραιος

για τον οποίον υπάρχουν πολυώνυμα $f_1(x), f_2(x),\ldots,f_n(x)$ με ρητούς συντελεστές τέτοια ώστε

$\displaystyle f_1(x)+f_2(x)+\dots+f_n(x)=x^2+7$

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ."

Η λύση του V. Pambuccian χρησιμοποιεί ένα θεώρημα-bazuka από ένα άρθρο της Olga Tausky-Todd στο Monthly, το οποίο μπορείτε να δείτε πιο εύκολα στο άρθρο On the representation of rational functions as sums of squares του J. Cassels, Acta Arithmetica (1964), Volume: 9, Issue: 1, page 79-82 εδώ.

Υποψιάστηκα ότι αποτέλεσε πρόβλημα IMO shortlist. Πράγματι, προτάθηκε από την Πολωνία για την IMO του 2010 της οποίας η shortlist είναι διαθέσιμη εδώ. Δείτε στη σελ. 68.

Το σχετικό ποστ στην κοινότητα του Aops για το θέμα της Πολωνικής Ολυμπιάδας είναι εδώ. Οι αναρτήσεις εκεί οδηγούν σε περισσότερες παραπομπές.

Παρεμπιπτόντως, μόλις παρατήρησα ότι το αρχικό ποστ στο AoPS πραγματοποιήθηκε πριν το τεστ στη Βρετανία και την Πολωνική Ολυμπιάδα! Κάποιος παραβίασε τον κανόνα δημοσίευσης θεμάτων της shortlist.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ύπαρξη πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές

Ύπαρξη πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές

Re: Ύπαρξη πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές

Re: Ύπαρξη πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές

Re: Ύπαρξη πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές

Μέλη σε σύνδεση