Τεστ Εξάσκησης (10), Μεγάλοι

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Απάντηση
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6595
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Τεστ Εξάσκησης (10), Μεγάλοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Μαρ 15, 2020 5:32 pm

ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (x,y) για τα οποία ισχύει x+y^2+z^3 = xyz, όπου z=(x, y).
(Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... ere_dgcdxy)


ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε όλα τα μονικά πολυώνυμα P(x),Q(x) με ακέραιους συντελεστές τέτοια ώστε Q(0) =0 και P(Q(x)) = (x-1)(x-2)...(x-15).
(Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... x__x1x2x15)


ΘΕΜΑ 3
Έστω A B C D E F κυρτό εξάγωνο τέτοιο ώστε το BCEF να είναι παραλληλόγραμμο και το ABF ισόπλευρο τρίγωνο.
Αν BC = 1, \ AD = 3, \ CD+DE = 2, να υπολογίσετε το εμβαδόν του A B C D E F .
(Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... quilateral)


ΘΕΜΑ 4
Έστω μια σκακιέρα 8\times 8 που αποτελείται από λευκά κελιά.Σε μια κίνηση ο Δημήτρης μπορεί να επιλέξει ένα 2\times 2 τετράγωνο της σκακιέρας αυτής που αποτελείται μόνο από λευκά κελιά και να χρωματίσει δυο κελιά από αυτό, τα οποία θα βρίσκονται στην διαγώνιο του. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός μαύρων κελιών που μπορούν να χρωματιστούν από τον Δημήτρη;


Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
Τεστ-Εξάσκησης
Κορυφή
stamas1
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (10), Μεγάλοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stamas1 » Κυρ Μαρ 15, 2020 9:48 pm

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 15, 2020 5:32 pm
 ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (x,y) για τα οποία ισχύει x+y^2+z^3 = xyz, όπου z=(x, y).
(Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... ere_dgcdxy)
Αφού \left ( x,y \right )=z τότε x=az και y=bz με (a,b)=1.Με αντικατάσταση παίρνουμε και a+zb^2+z^2=z^2ab το z|a άρα a=cz με (b,c)=1.Με αντικατάσταση παίρνουμε την c+b^2+z=z^2bc
άρα είναι τριώνυμο ως προς b με διακρίνουσα \Delta =z^4c^2-4c-4z όμως για z\geq 2 ισχύει (z^2c-1)^2< z^4c^2-4z-4c< (z^2c)^2 άρα το z=1. Με αντικατάσταση στην αρχική παίρνουμε x+y^2+1=xy\Rightarrow (y-1)(y-x+1)=-2 όμως y\geq 1 άρα έχουμε τις έξης περιπτώσεις y-1=1,y-x+1=-2 ή y-1=2,y-x+1=-1.Λύνοντας τα συστήματα οι μοναδικές λύσεις είναι (x,y,z)=(5,2,1),(5,3,1)


Κορυφή
stamas1
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (10), Μεγάλοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stamas1 » Δευ Μαρ 16, 2020 3:28 pm

Για το 2 καποια λυση χωρις να γινουν ολες αυτες οι πραξεις??


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1861
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Ορέστης Λιγνός

Re: Τεστ Εξάσκησης (10), Μεγάλοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Μαρ 16, 2020 5:08 pm

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 15, 2020 5:32 pm
 ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε όλα τα μονικά πολυώνυμα P(x),Q(x) με ακέραιους συντελεστές τέτοια ώστε Q(0) =0 και P(Q(x)) = (x-1)(x-2)...(x-15).
(Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... x__x1x2x15)
Έστω \deg P= m και \deg Q=n με m,n φυσικούς. Τότε, \deg P(Q(x))=mn, άρα mn=15 που δίνει (m,n)=(1,15),(15,1),(3,5),(5,3).

\rightarrow Αν m=1,n=15 τότε το P είναι μονικό και γραμμικό. Επίσης, για x=0 η δοσμένη δίνει P(0)=-15!, επομένως P(x)=x-15! και Q(x)=(x-1)(x-2) \cdots (x-15)+15!.

\rightarrow Αν m=15,n=1, τότε το Q είναι μονικό και γραμμικό, αλλά και Q(0)=0, οπότε Q(x)=x και P(x)=(x-1)(x-2) \cdots (x-15).

\rightarrow Αν m=3,n=5, τότε το P είναι τρίτου και το Q πέμπτου βαθμού. Για x \in \{1,2, \ldots, 15 \} η δοσμένη δίνει P(Q(1))=P(Q(2))=\ldots=P(Q(15))=0. Όμως, το P είναι τρίτου βαθμού, οπότε έχει το πολύ 3 πραγματικές ρίζες. Άρα, τουλάχιστον 12 από τα Q(i) είναι ίσα.

WLOG, έστω Q(1)=Q(2)=\ldots=Q(12)=c. Τότε, το πολυώνυμο R(x)=Q(x)-c έχει \deg R=\deg Q=3 και έχει 12 διαφορετικές ρίζες, τις 1,2, \ldots, 12, άτοπο.

Όμοια, αντιμετωπίζουμε και την περίπτωση m=5,n=3.

Edit: Η λύση έχει λάθος.
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Δευ Μαρ 16, 2020 9:32 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Κορυφή
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6595
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Re: Τεστ Εξάσκησης (10), Μεγάλοι

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Μαρ 16, 2020 5:42 pm

stamas1 έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 16, 2020 3:28 pm
 Για το 2 καποια λυση χωρις να γινουν ολες αυτες οι πραξεις??
https://artofproblemsolving.com/community/c6h2026089
:)


Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3714
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τεστ Εξάσκησης (10), Μεγάλοι

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μαρ 17, 2020 5:18 pm

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 15, 2020 5:32 pm
 ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε όλα τα μονικά πολυώνυμα P(x),Q(x) με ακέραιους συντελεστές τέτοια ώστε Q(0) =0 και P(Q(x)) = (x-1)(x-2)...(x-15).
(Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... x__x1x2x15)
Θα κάνω λύση με μόνη υπόθεση ότι τα πολυώνυμα έχουν συντελεστές στο \mathbb{C}


Έστω \deg P= k και \deg Q=l όπου k,l φυσικοί..Τότε, \deg P(Q(x))=kl, άρα kl=15 .Η περίπτωση που το ένα είναι 1 είναι εύκολη και την παραλείπω.Εχουμε λοιπόν τις περιπτώσεις

1)k=3,l=5
Το P θα έχει 3 ρίζες έστω τις a_{i},i=1,2,3
Επειδή
P(Q(n))=0 ,n=1,2,..15
Θα υπάρχουν
r_{ij},i=1,2,3,j=1,2,3,4,5
που θα είναι μια αναδιάταξη των \left \{ 1,2,..,15 \right \}
ώστε
Q(x)=a_{i}+c(x-r_{i1})(x-r_{i2})(x-r_{i3})(x-r_{i4})(x-r_{i5}),c\in \mathbb{C},c\neq 0
για i=1,2,3
Από σχέσεις Vieta έχουμε ότι η παράσταση
\sum_{j=1}^{5}(r_{ij})^{2}
θα είναι ανεξάρτητη του i.
Αυτό σημαίνει ότι το 3 διαιρεί τον αριθμό
\sum_{m=1}^{15}m^{2}=\frac{15.16.31}{6}=40.31
ΑΤΟΠΟ.


2)k=5,l=3
Το P θα έχει 5 ρίζες έστω τις a_{i},i=1,2,3,4,5
Επειδή
P(Q(n))=0 ,n=1,2,..15
Θα υπάρχουν r_{ij},i=1,2,3,4,5,j=1,2,3
που θα είναι μια αναδιάταξη των \left \{ 1,2,..,15 \right \}
ώστε
Q(x)=a_{i}+c(x-r_{i1})(x-r_{i2})(x-r_{i3}),c\in \mathbb{C},c\neq 0
για i=1,2,3,4,5
Από σχέσεις Vieta έχουμε ότι η παράσταση
\sum_{j=1}^{3}(r_{ij})^{2}
θα είναι ανεξάρτητη του i.
Επειδή
\sum_{m=1}^{15}m^{2}=\frac{15.16.31}{6}=40.31
θα είναι
\sum_{j=1}^{3}(r_{ij})^{2}=8.31=248
Επίσης και η παράσταση
\sum_{j=1}^{3}(r_{ij})
θα είναι ανεξάρτητη του i.
Επειδή
\sum_{m=1}^{15}m=\frac{15.16}{2}=120
θα έχουμε
\sum_{j=1}^{3}(r_{ij})=24

Παίρνουμε την τριάδα που περιέχει το 15
Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι είναι η πρώτη.
Θα είναι
15+r_{12}+r_{13}=24,225+(r_{12})^{2}+(r_{13})^{2}=248
η
r_{12}+r_{13}=9,(r_{12})^{2}+(r_{13})^{2}=23
που τετριμένα είναι αδύνατη ΑΤΟΠΟ.

Τελικά ένα από τα δύο πολυώνυμα θα έχει βαθμό 1


Κορυφή
miltosk
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (10), Μεγάλοι

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Παρ Μαρ 27, 2020 5:19 pm

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 15, 2020 5:32 pm
 ΘΕΜΑ 3
Έστω A B C D E F κυρτό εξάγωνο τέτοιο ώστε το BCEF να είναι παραλληλόγραμμο και το ABF ισόπλευρο τρίγωνο.
Αν BC = 1, \ AD = 3, \ CD+DE = 2, να υπολογίσετε το εμβαδόν του A B C D E F .
(Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/community/c1068820h2006728_area_computational_with_hexagon_parallelogram_and_equilateral)
Βάζω την ιδέα μου μόνο γιατί δεν έχω χρόνο τώρα μήπως βοηθήσει κάποιον να φτάσει στη λύση.
Υποθέτω ότι CDE=120^o (ΔΕΝ μπορώ να το κάνω αυτό απλά προβάλλω τη σκέψη μου).
Παίρνω σημείο Q ώστε το ABCQ παραλληλόγραμμο. Τότε AQ=BC=1 και QC=AB. Είναι άμεσο ότι και το AQEF παραλληλόγραμμο και άρα QEC ισόπλευρο (κάτι σαν μεταφορά/μετατόπιση του ABF σκέφτηκα). Τώρα αφού CDE=120^o τότε QCDE εγγράψιμα και από θεώρημα Van Scooten QD=2.
Τελικά AQ+QD=AD άρα A,Q,D συνευθειακά και άρα AD//BC.
Όπως ξεκίνησα έκανα μια υπόθεση που δεν έψαξα πολύ να δω αν ισχύει αλλά σε αυτή την περίπτωση συνδέονται ωραία τα δεδομένα. Δεν ξέρω καν αν αυτό οδηγήσει σε λύση θα ασχοληθώ αργότερα. Όποιος θέλει ας ασχοληθεί.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες