Π.Μ.Δ.Μ. 1965-66 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

parmenides51 · #1

1. Να αποδείξετε οτι παράσταση $\displaystyle{666^{\nu}+636^{\nu}-(-659)^{\nu}}$ , όπου $\displaystyle{\nu}$ θετικός ακέραιος διαιρείται από το $\displaystyle{1961}$

2. Δίνεται στρεβλό τετράπλευρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ .
Φέρνουμε επίπεδο παράλληλο προς τις δυο απέναντι πλευρές του $\displaystyle{A\Delta}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ που τέμνει τις άλλες δυο πλευρές στα σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ .
Κατόπιν φέρνουμε επίπεδο παράλληλο προς τις άλλες δυο απέναντι πλευρές του $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{\Delta\Gamma}$ που τέμνει τις $\displaystyle{A\Delta}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ στα σημεία $\displaystyle{H}$ και $\displaystyle{\Theta}$ .
Να αποδειχθεί οτι οι ευθείες $\displaystyle{EZ}$ και $\displaystyle{H\Theta}$ είναι συνεπίπεδες.

3. Αν σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει για το εμβαδόν του $\displaystyle{E=\frac{\alpha}{4}\sqrt{(\beta+\gamma)^2-\alpha^2}}$ να δειχτεί οτι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

kostas_zervos · #2

parmenides51 έγραψε: 3. Αν σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει για το εμβαδόν του $\displaystyle{E=\frac{\alpha}{4}\sqrt{(\beta+\gamma)^2-\alpha^2}}$ να δειχτεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

$E=\dfrac{\alpha}{4}\sqrt{(\beta+\gamma)^2-\alpha^2} \iff$

$\iff E=\dfrac{\alpha}{4}\sqrt{(\beta+\gamma+\alpha)(\beta+\gamma-\alpha)} \iff$

$\iff E=\dfrac{\alpha}{4}\sqrt{2\tau(2\tau-2\alpha)}\iff$

$\iff \sqrt{\tau(\tau-\alpha)(\tau-\beta)(\tau-\gamma)}=\dfrac{\alpha}{2}\sqrt{\tau(\tau-\alpha)}\iff$

$\iff \sqrt{(\tau-\beta)(\tau-\gamma)}=\dfrac{\alpha}{2}\iff$

$\iff \dfrac{\alpha+\gamma-\beta}{2}\dfrac{\alpha+\beta-\gamma}{2}=\dfrac{\alpha^2}{4}\iff$

$\iff \alpha^2-\beta^2+2\beta\gamma-\gamma^2=\alpha^2\iff$

$\iff (\beta-\gamma)^2=0 \iff \beta=\gamma$ .

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

Al.Koutsouridis · #4

parmenides51 έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2013 8:54 pm

2. Δίνεται στρεβλό τετράπλευρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ .
Φέρνουμε επίπεδο παράλληλο προς τις δυο απέναντι πλευρές του $\displaystyle{A\Delta}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ που τέμνει τις άλλες δυο πλευρές στα σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ .
Κατόπιν φέρνουμε επίπεδο παράλληλο προς τις άλλες δυο απέναντι πλευρές του $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{\Delta\Gamma}$ που τέμνει τις $\displaystyle{A\Delta}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ στα σημεία $\displaystyle{H}$ και $\displaystyle{\Theta}$ .
Να αποδειχθεί οτι οι ευθείες $\displaystyle{EZ}$ και $\displaystyle{H\Theta}$ είναι συνεπίπεδες.

: pmdm_1965_66_g_lukeiou_praktiko_pr2.png (80.89 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

Έστω

το δοθέν στρεβλό τετράπλευρο και

,

οι υπό εξέταση ευθείες όπως ορίζονται στην εκφώνηση.

Επειδή η ευθεία

περιέχεται σε παράλληλο επίπεδο προς τα επίπεδα που περιέχουν τις πλευρές

και

, από το θεώρημα του Θαλή θα έχουμε.

$\dfrac{AE}{EB} = \dfrac{DZ}{ZC}$ (1)

Ομοίως

$\dfrac{HC}{BH} = \dfrac{AF}{FD}$ (2)

Από το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο ABC

με διατέμνουσα την HEP

, όπου

σημείο της ευθείας

, έχουμε

$\dfrac{BH}{HC} \cdot \dfrac{CP}{PA} \cdot \dfrac{AE}{EB} =1$

Από το θεώρημα Μενέλαου στο τρίγωνο ADC

με διατέμνουσα $ZFP^{\prime}$ , όπου $P^{\prime}$ σημείο της ευθείας

, έχουμε

$\dfrac{DZ}{ZC} \cdot \dfrac{CP^{\prime}}{P^{\prime}A} \cdot \dfrac{AF}{FD} =1$

Διαιρώντας κατά μέλη τις παραπάνω δυο εξισώσεις και έχοντας υπόψη τις (1),(2) προκύπτει

$\dfrac{CP}{PA} = \dfrac{CP^{\prime}}{P^{\prime}A}$

Δηλαδή τα σημεία $P, P^{\prime}$ διαιρούν σε ίδιο λόγο το τμήμα

και εφόσον και τα δυο είναι εξωτερικά αυτού προς το ίδιο μέρος, θα ταυτίζονται. Οπότε τα σημεία E,Z,H,F,P

είναι συνεπίπεδα, άρα και οι ευθείες

και

.

Εναλλακτηκά μπορεί να εφαρμοστεί κατευθείαν το θεώρημα Μενελάου για στρεβλά τετράπλευρα.

$\dfrac{AE}{EB} \cdot \dfrac{BH}{HC} \cdot \dfrac{CZ}{ZD} \cdot \dfrac{DF}{FA} =1$

που δίνει το ζητούμενο.

Π.Μ.Δ.Μ. 1965-66 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1965-66 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1965-66 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1965-66 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1965-66 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση