Ζεύγος ακεραίων

KARKAR · #1

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης : $\displaystyle \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{x+y}{x}$

#2

Η εξίσωση είναι εύκολη γιατί μπορεί να λυθεί ως προς έναν από τους δύο αγνώστους.

Είναι (για $\displaystyle{xy\neq 0}$ )

$\displaystyle{x=\frac{y^2-y-1}{1-y}\iff x=-y-2-\frac{1}{1-y}.}$

Είναι τότε $\displaystyle{1-y=\pm 1,}$ οπότε $\displaystyle{y=2}$ και τελικά $\displaystyle{x=-1.}$

Ανδρέας Πούλος · #3

Άλλος τρόπος, επίσης συνηθισμένος, είναι με παραγοντοποίηση.
Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με

.
Οπότε έχουμε y + x + 1 = xy + y^2

ισοδύναμα

και από εδώ παίρνουμε την χρήσιμη μορφή.
(x+y)((y-1) = 1

.
Αυτό σημαίνει ότι:
x+ y = 1

και

, (1)

και

, (2)
Η (1) δίνει λύση την ,
Η (2) δίνει λύση την x = - 1

και

που απορρίπτεται.

Ζεύγος ακεραίων

Ζεύγος ακεραίων

Re: Ζεύγος ακεραίων

Re: Ζεύγος ακεραίων

Μέλη σε σύνδεση