Ισοσκελή εγγεγραμμένα τραπέζια

KARKAR · #1

: Ισοσκελή τραπέζια.png (10.35 KiB) Προβλήθηκε 1249 φορές

Σε κύκλο ακτίνας r=4

είναι εγγεγραμμένα τα ισοσκελή τραπέζια ABCD

και

.

Οι

τέμνονται στο σημείο

. Υπολογίστε την διαφορά : (AES)-(CDS)

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 27, 2020 9:09 pm
Ισοσκελή τραπέζια.pngΣε κύκλο ακτίνας είναι εγγεγραμμένα τα ισοσκελή τραπέζια και .

Οι τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε την διαφορά : .

Ας είναι

το σημείο τομής των $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OE$ . Γράφω και τον κύκλο $\left( {A,4} \right)$ και τέμνει το

στο

.

Είναι : $BC = AD = {\lambda _3} = 4\sqrt 3 \,\,,\,\,BA = CE = {\lambda _4} = 4\sqrt 2$ και έτσι

$\widehat {AOB} = \widehat {COE} = 90^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {BOC} = 120^\circ \Rightarrow \widehat {AOE} = 60^\circ$ . Άρα το $\vartriangle OAE$ είναι ισόπλευρο πλευράς

.

: Ισοσκελή εγγεγραμμένα τραπέζια.png (35.8 KiB) Προβλήθηκε 1225 φορές

Επειδή $AM \bot OE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OC \bot OE$ θα είναι AD//OC

και αφού το

μέσο του

θα είναι και το

μέσο του

.

Είναι ακόμα $\widehat {{\omega _{}}} = \dfrac{1}{2}\widehat {{\theta _1}} = 15^\circ \Rightarrow \widehat {{\theta _{}}} = 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ = \widehat {DCE}$ και άρα EN// = CD

.

$\left( {AES} \right) - \left( {CDS} \right) = \left( {AES} \right) - \left( {ENS} \right) = \left( {AEN} \right) = \dfrac{1}{2}AN \cdot EM = 4$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 27, 2020 9:09 pm
Ισοσκελή τραπέζια.pngΣε κύκλο ακτίνας είναι εγγεγραμμένα τα ισοσκελή τραπέζια και .

Οι τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε την διαφορά : .

$\boxed{(AES)-(CDS)=(ABCE)-ABCD)}$ (1)

: Ισοσκελή εγγεγ. τραπέζια.png (25.16 KiB) Προβλήθηκε 1187 φορές

Οι

είναι αντίστοιχα οι πλευρές τετραγώνου και ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας

Έτσι, δικαιολογούνται οι γωνίες που φαίνονται στο σχήμα. Άρα AE=4

(πλευρά κανονικού εξαγώνου) και το ύψος του

τραπεζίου ABCE

είναι $\displaystyle {a_6} + {a_3} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2} + \frac{R}{2} = 2(\sqrt 3 + 1) \Rightarrow$ $\boxed{(ABCE) = 16 + 8\sqrt 3 }$ (2)

$\displaystyle CF = 4\sqrt 3 \sin 75^\circ = 3\sqrt 2 + \sqrt 6$ και $\displaystyle CD = 4\sqrt 2 - 2BF = 4\sqrt 2 - 8\sqrt 3 \cos 75^\circ = 2(\sqrt 6 - \sqrt 2 )$

Άρα, $\displaystyle (ABCD) = \frac{{4\sqrt 2 + 2\sqrt 6 - 2\sqrt 2 }}{2}(3\sqrt 2 + 6) \Leftrightarrow$ $\boxed{(ABCD) = 12 + 8\sqrt 3 }$ (3)

Από

και

είναι $\boxed{(AES)-(CDS)=4}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 27, 2020 9:09 pm
Ισοσκελή τραπέζια.pngΣε κύκλο ακτίνας είναι εγγεγραμμένα τα ισοσκελή τραπέζια και .

Οι τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε την διαφορά : .

Επειδή $AB=R \sqrt{2} ,BC=R \sqrt{3} \Rightarrow AB= \lambda _{4} ,BC= \lambda _{3}$ κι εύκολα προκύπτουν

οι σημειωμένες γωνίες του σχήματος και $AE= \lambda _{6}=R=4$

Τα NAOC,NACZ

προφανώς είναι εγγράψιμα στον ίδιο κύκλο κι επειδή AOCZ

ισοσκελές τραπέζιο

θα είναι $CZ=AO=4 \Rightarrow CZ=//AE \Rightarrow S$ μέσον της

και $\triangle AES=CSZ$

$(AES)-(DSC)=(CSZ)-(DSC)=(DCZ)= \dfrac{4 . 4. \eta \mu 30^0 }{2} =4$

: Ισοσκελή εγγεγραμμένα τραπέζια.png (49.37 KiB) Προβλήθηκε 1159 φορές

Ισοσκελή εγγεγραμμένα τραπέζια

Ισοσκελή εγγεγραμμένα τραπέζια

Re: Ισοσκελή εγγεγραμμένα τραπέζια

Re: Ισοσκελή εγγεγραμμένα τραπέζια

Re: Ισοσκελή εγγεγραμμένα τραπέζια

Μέλη σε σύνδεση