Τριγωνομετρική παραμετρική

Al.Koutsouridis · #1

Για ποιές τιμές της παραμέτρου

η εξίσωση

$\displaystyle{\sin \left ( x+6a \right) + \sin \left (\dfrac{x^2-8x-9a}{2} \right )= 12x-2x^2-6a }$

έχει ρίζα τουλάχιστον ίση με

;

#2

Που τα βρίσκεις ρε Αλέξανδρε!!

H εξίσωση γράφεται

$sin\dfrac{x^2-6x+3a}{4}cos\dfrac{x^2-10x-21a}{4}=-x^2+6x-3a$

Παρατηρούμε ότι

$\left |sin\dfrac{z}{4}cosy \right |\leq \left | sin\dfrac{z}{4} \right | \leq \left | z \right |$ και οι ισότητες ισχύουν ακριβώς όταν z=0

. Επομένως

x^2-6x+3a=0

Eπειδή για $x\geqslant 4$ είναι $x^2-6x\geqslant -8$ , έχουμε λύση $x\geqslant 4$ ακριβώς όταν

$-3a\geq -8 \Leftrightarrow a \leq \dfrac{8}{3}$

Al.Koutsouridis · #3

Η συγκεκριμένη άσκηση αν θυμάμαι καλά είναι από το Μηχανικό-Μαθηματικό της Μόσχας, θα το ψάξω και θα ανανεώσω την αρχική ανάρτηση και την πηγή. Είχα ενδοιασμό για το που να τοποθετήσω την άσκηση γιατί στη λύση χρησιμοποιείται η ανισότητα $|\sin x| \leq x$ . Η ανισότητα αυτή αποδεικνύεται στο σχολικό βιβλίο της Γ' Λυκείου αλλά, χρησιμοποιεί ύλη των προηγούμενων τάξεων, οπότε αποφάσισα να την τοποθετήσω εδώ.

S.E.Louridas · #4

Καλημέρα και Καλή Πρωτομαγιά.

Πολύ Όμορφη η άσκηση αλλά σίγουρα και η λύση του Κώστα. Προσωπικά έλυσα το όμορφο αυτό θέμα χρησιμοποιώντας ότι η $\displaystyle{f(x)=sinx+4x}$ είναι 1-1.

Δεν το τοποθέτησα όμως εδώ γιατί θεώρησα ότι η μέθοδος χωρίς χρήση παραγώγων που είναι άμεση, είναι για μαθητή λίγο επίπονη. Η ανάλυση που κάνουμε σε αυτές τις περιπτώσεις είναι να δούμε καταρχάς αν υπάρχει σχέση μεταξύ των τόξων που αναφέρονται στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και του "αποτελέσματος". Εδώ για παράδειγμα βλέπουμε ότι: $\displaystyle{A = x + 6a,\;B = \frac{{{x^2} - 8x - 9a}}{2} \Rightarrow A + B = \frac{{{x^2} - 6x +3 a}}{2}.}$
Άρα για A=-B

και $x \geqslant 4$ καταλήγουμε στο αποτέλεσμα $a \leq \dfrac{8}{3}$ .

Al.Koutsouridis · #5

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2020 11:39 am
Καλημέρα και Καλή Πρωτομαγιά.

Πολύ Όμορφη η άσκηση αλλά σίγουρα και η λύση του Κώστα. Προσωπικά έλυσα το όμορφο αυτό θέμα χρησιμοποιώντας ότι η $\displaystyle{f(x)=sinx+4x}$ είναι Δεν το τοποθέτησα όμως εδώ γιατί θεώρησα ότι η μέθοδος χωρίς χρήση παραγώγων που είναι άμεση, είναι για μαθητή λίγο επίπονη. Η ανάλυση που κάνουμε σε αυτές τις περιπτώσεις είναι να δούμε καταρχάς αν υπάρχει σχέση μεταξύ των τόξων που αναφέρονται στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και του "αποτελέσματος". Εδώ για παράδειγμα βλέπουμε ότι: $\displaystyle{A = x + 6a,\;B = \frac{{{x^2} - 8x - 9a}}{2} \Rightarrow A + B = \frac{{{x^2} - 6x +3 a}}{2}.}$
Άρα για και $x \geqslant 4$ καταλήγουμε στο αποτέλεσμα $a \leq \dfrac{8}{3}$ .

Καλή Πρωτομαγιά! Καλημέρα!

Τα παραπάνω πολύ πιθανόν να είναι και ο τρόπος κατασκευής της άσκησης. Δηλαδή η επιλογή μια συνάρτησης με χαρακτηριστικά που θέλουμε και το ντύσιμό της με άλλες δυο τρεις ιδιότητες που θέλουμε να εξετάσουμε.

Πάντως αν κάνουμε τις παραπάνω αντικαταστάσεις, πάλι μπορούμε να αποφύγουμε την μελέτη της συνάρτησης $f(x)=\sin x +4x$ .

$\displaystyle{| \sin A + \sin B | \leq |\sin A | +|\sin B | \leq A+B}$

Από την άλλη $| \sin A + \sin B | = 4|A+B|$ . Άρα $4|A+B| \leq A+B \Rightarrow A+B=0$ .

S.E.Louridas · #6

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2020 12:03 pm

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2020 11:39 am
Καλημέρα και Καλή Πρωτομαγιά.

Πολύ Όμορφη η άσκηση αλλά σίγουρα και η λύση του Κώστα. Προσωπικά έλυσα το όμορφο αυτό θέμα χρησιμοποιώντας ότι η $\displaystyle{f(x)=sinx+4x}$ είναι Δεν το τοποθέτησα όμως εδώ γιατί θεώρησα ότι η μέθοδος χωρίς χρήση παραγώγων που είναι άμεση, είναι για μαθητή λίγο επίπονη. Η ανάλυση που κάνουμε σε αυτές τις περιπτώσεις είναι να δούμε καταρχάς αν υπάρχει σχέση μεταξύ των τόξων που αναφέρονται στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και του "αποτελέσματος". Εδώ για παράδειγμα βλέπουμε ότι: $\displaystyle{A = x + 6a,\;B = \frac{{{x^2} - 8x - 9a}}{2} \Rightarrow A + B = \frac{{{x^2} - 6x +3 a}}{2}.}$
Άρα για και $x \geqslant 4$ καταλήγουμε στο αποτέλεσμα $a \leq \dfrac{8}{3}$ .
Καλή Πρωτομαγιά! Καλημέρα!

Τα παραπάνω πολύ πιθανόν να είναι και ο τρόπος κατασκευής της άσκησης. Δηλαδή η επιλογή μια συνάρτησης με χαρακτηριστικά που θέλουμε και το ντύσιμό της με άλλες δυο τρεις ιδιότητες που θέλουμε να εξετάσουμε.

Πάντως αν κάνουμε τις παραπάνω αντικαταστάσεις, πάλι μπορούμε να αποφύγουμε την μελέτη της συνάρτησης $f(x)=\sin x +4x$ .

$\displaystyle{| \sin A + \sin B | \leq |\sin A | +|\sin B | \leq A+B}$

Από την άλλη $| \sin A + \sin B | = 4|A+B|$ . Άρα $4|A+B| \leq A+B \Rightarrow A+B=0$ .

Σαφέστατα αλλά δεν μίλησα για αυτό το σημείο, απλά θεώρησα ότι δεν είναι γνωστή για την Β' Λυκείου η ανισότητα: $|sinx|\leq {|x|}$ (δυστυχώς έχω πολύ καιρό να διδάξω στην τάξη αυτή) και θα έπρεπε πρώτα να αποδειχθεί. Εντάξει η άσκηση είναι πολύ καλή και η εδώ κουβέντα επίσης. Και πάλι καλή Πρωτομαγιά.

#7

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2020 12:03 pm

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2020 11:39 am
Καλημέρα και Καλή Πρωτομαγιά.

Πολύ Όμορφη η άσκηση αλλά σίγουρα και η λύση του Κώστα. Προσωπικά έλυσα το όμορφο αυτό θέμα χρησιμοποιώντας ότι η $\displaystyle{f(x)=sinx+4x}$ είναι Δεν το τοποθέτησα όμως εδώ γιατί θεώρησα ότι η μέθοδος χωρίς χρήση παραγώγων που είναι άμεση, είναι για μαθητή λίγο επίπονη. Η ανάλυση που κάνουμε σε αυτές τις περιπτώσεις είναι να δούμε καταρχάς αν υπάρχει σχέση μεταξύ των τόξων που αναφέρονται στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και του "αποτελέσματος". Εδώ για παράδειγμα βλέπουμε ότι: $\displaystyle{A = x + 6a,\;B = \frac{{{x^2} - 8x - 9a}}{2} \Rightarrow A + B = \frac{{{x^2} - 6x +3 a}}{2}.}$
Άρα για και $x \geqslant 4$ καταλήγουμε στο αποτέλεσμα $a \leq \dfrac{8}{3}$ .
Καλή Πρωτομαγιά! Καλημέρα!

Τα παραπάνω πολύ πιθανόν να είναι και ο τρόπος κατασκευής της άσκησης. Δηλαδή η επιλογή μια συνάρτησης με χαρακτηριστικά που θέλουμε και το ντύσιμό της με άλλες δυο τρεις ιδιότητες που θέλουμε να εξετάσουμε.

Πάντως αν κάνουμε τις παραπάνω αντικαταστάσεις, πάλι μπορούμε να αποφύγουμε την μελέτη της συνάρτησης $f(x)=\sin x +4x$ .

$\displaystyle{| \sin A + \sin B | \leq |\sin A | +|\sin B | \leq A+B}$

Από την άλλη $| \sin A + \sin B | = 4|A+B|$ . Άρα $4|A+B| \leq A+B \Rightarrow A+B=0$ .

Επ!! Σωτήρη, χρόνια Πολλά!!

'Αλεξ, έδω είχα πρόβλημα με το αντίστροφο.

Al.Koutsouridis · #8

rek2 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2020 12:31 pm

'Αλεξ, έδω είχα πρόβλημα με το αντίστροφο.

Και το αντίστροφο ισχύει

$A+B=0 \Rightarrow A=-B \Rightarrow \sin A = \sin (- B) \Rightarrow \sin A = - \sin B \Rightarrow \sin A + \sin B =0 \Rightarrow$

$\Rightarrow \sin A + \sin B = 4 \cdot (0) \Rightarrow \sin A + \sin B = 4 (A+B)$ .

Ή εννοείται κάτι άλλο;

Τριγωνομετρική παραμετρική

Τριγωνομετρική παραμετρική

Re: Τριγωνομετρική παραμετρική

Re: Τριγωνομετρική παραμετρική

Re: Τριγωνομετρική παραμετρική

Re: Τριγωνομετρική παραμετρική

Re: Τριγωνομετρική παραμετρική

Re: Τριγωνομετρική παραμετρική

Re: Τριγωνομετρική παραμετρική

Μέλη σε σύνδεση