Ελάχιστο με προϋπόθεση

KARKAR · #1

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : 3x^2+xy+3y^2

,

αν είναι γνωστό ότι : $x^4+x^2y^2+y^4=50 , ( x,y \in \mathbb{R} )$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 09, 2020 9:03 am
Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : ,

αν είναι γνωστό ότι : $x^4+x^2y^2+y^4=50 , ( x,y \in \mathbb{R} )$ .

Αν $y = kx\,\,\,$ η παράσταση $S = {x^2} + xy + {y^2} = {x^2}(3{k^2} + k + 3)\,\,\left( 1 \right)$ και

${x^4} + {x^2}{y^2} + {y^4} = 50 \Rightarrow {x^4} = \dfrac{{50}}{{{k^4} + {k^2} + 1}}\,\,\,\left( 2 \right)$ .

Άρα ${S^2} = {x^4}{\left( {3{k^2} + k + 3} \right)^2} = \dfrac{{50{{\left( {3{k^2} + k + 3} \right)}^2}}}{{{k^4} + {k^2} + 1}}$

Θεωρώ τη συνάρτηση : $f(k) = \dfrac{{{{(3{k^2} + k + 3)}^2}}}{{{k^4} + {k^2} + 1}}\,\,\,,\,\,k \in \mathbb{R}$ που παρουσιάζει ελάχιστο

για $x = - \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$ το

συνεπώς για την παράσταση ${S^2}$ ελάχιστο είναι το 400

.

Έτσι : $\boxed{{S_{\min }} = 20}$ ( αφού η

παίρνει μόνο θετικές τιμές )

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 09, 2020 9:03 am
Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : ,

αν είναι γνωστό ότι : $x^4+x^2y^2+y^4=50 , ( x,y \in \mathbb{R} )$ .

Με

και

έχουμε

$\displaystyle \begin{aligned} x^4+x^2y^2+y^4&=(x^2+y^2)^2-(xy)^2\\ &=(x^2+y^2-xy)(x^2+y^2+xy)\\ &=[(u+v)^2+(u-v)^2-(u^2-v^2)][(u+v)^2+(u-v)^2+(u^2-v^2)]\\ &=(u^2+3v^2)(3u^2+v^2)\\ \end{aligned}$

Έτσι,

$\displaystyle \begin{aligned} 3x^2+xy+3y^2&=3(u+v)^2+(u^2-v^2)+3(u-v)^2\\ &=7u^2+5v^2\\ &=2(3u^2+v^2)+(u^2+3v^2)\\ &\geq 2\sqrt{2(3u^2+v^2)(u^2+3v^2)}\\ &=2\sqrt{2(x^4+x^2y^2+y^4)}\\ &=2\sqrt{100}\\ &=20\\ \end{aligned}$

με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν

$\displaystyle 6u^2+2v^2=u^2+3v^2\iff v^2=5u^2.$

Τότε

$(3u^2+v^2)(u^2+3v^2)=50\iff 8u^2\cdot 16u^2=50\iff u^2=5/8$ , και v^2=25/8

.

Άρα $u=\pm \sqrt{\frac{5}{8}}$ και $v=\pm \sqrt{\frac{25}{8}}$ , Με αντικατάσταση βρίσκουμε τις τέσσερις τιμές για το (x,y)

:

$\left(\sqrt{\frac{5}{8}}+\sqrt{\frac{25}{8}}, \sqrt{\frac{5}{8}}-\sqrt{\frac{25}{8}} \right)$ ,
$\left(\sqrt{\frac{5}{8}}-\sqrt{\frac{25}{8}}, \sqrt{\frac{5}{8}}+\sqrt{\frac{25}{8}} \right)$ ,
$\left(-\sqrt{\frac{5}{8}}-\sqrt{\frac{25}{8}}, -\sqrt{\frac{5}{8}}+\sqrt{\frac{25}{8}} \right)$ ,
$\left(-\sqrt{\frac{5}{8}}+\sqrt{\frac{25}{8}}, -\sqrt{\frac{5}{8}}-\sqrt{\frac{25}{8}} \right)$ ,

στις οποίες λαμβάνεται η ελάχιστη τιμή

για την παράσταση.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 09, 2020 9:03 am
Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : ,

αν είναι γνωστό ότι : $x^4+x^2y^2+y^4=50 , ( x,y \in \mathbb{R} )$ .

$\displaystyle {({x^2} + {y^2})^2} - {x^2}{y^2} = 50 \Rightarrow 3({x^2} + {y^2}) + xy = 3\sqrt {{{(xy)}^2} + 50} + xy$ και για xy=t

η παράσταση γράφεται:

$\displaystyle f(t) = 3\sqrt {{t^2} + 50} + t$ που παρουσιάζει για $\boxed{t = - \frac{5}{2}}$ ελάχιστη τιμή $\boxed{{f_{\min }} = 20}$

Εύκολα τώρα μπορούμε να βρούμε τα x,y.

#5

Μια παρατήρηση στην παραπάνω λύση (#3):

Η χρήση των μεταβλητών u,v

είναι περιττή. Πράγματι, παρατηρούμε ότι

$3x^2+xy+3y^2=2(x^2+xy+y^2)+(x^2+y^2-xy)=2(x^2+xy+y^2)+\dfrac{50}{x^2+y^2+xy}$

οπότε, όπως πριν, από την ανισότητα Αριθμητικού Μέσου-Γεωμετρικού Μέσου (αφού x^2+y^2+xy>0

) παίρνουμε

$3x^2+xy+3y^2\geq 2\sqrt{2(x^2+xy+y^2)\dfrac{50}{x^2+y^2+xy}}=20$

με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν x^2+xy+y^2=5

, οπότε

.

Εύκολα βρίσκουμε x^2+y^2=15/2

και

, το σύστημα των οποίων δίνει τις παραπάνω τέσσερις λύσεις.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ελάχιστο με προϋπόθεση

Ελάχιστο με προϋπόθεση

Re: Ελάχιστο με προϋπόθεση

Re: Ελάχιστο με προϋπόθεση

Re: Ελάχιστο με προϋπόθεση

Re: Ελάχιστο με προϋπόθεση

Μέλη σε σύνδεση