Μιγαδική ανάλυση ασκήσεις

i_am_imbact · #1

Καλησπέρα σας,
Έχω τρεις ασκήσεις που έχω θέμα και δεν μπορώ να λύσω
1) Έστω f(x+iy)= u(x,y) + iv(x,y)

,

αναλυτική συνάρτηση σε ανοιχτό και συνεκτικό σύνολο $U \subset C$ με f(0)=1

.Υποθέτουμε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί a,b,c με $|a|+|b| \neq 0$ , τέτοιοι ώστε $au(x,y)+bv(x,y) +c = 0, \forall (x,y) \inU$ .Βρείτε την

.
Για να το λύσω αυτό δοκίμασα και παραγώσισα μια για

και μια για

την κάτω σχέση και κατέληξα χρησιμοποιώντας και την συθνήκη Cauchy Reinmann στις σχέσεις: au_x - bu_y=0

άρα αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση στην κατεύθυνση του διανύσματος (a,-b)

είναι σταθερή άρα η

είναι της μορφής u=f(-bx-ay)

ενώ για την

κατέληξα στην σχέση v=g(ax-by)

και δεν ξέρω τι άλλο να κάνω για να το συνεχίσω η αρχική συνθήκη που έχω δεν είναι κατάλληλη για να λύσω το πρόβλημα νομίζω

2) Έστω $f : D(0,2) \rightarrow C$ ολόμορφη τέτοια ώστε $f(\frac{2}{n}) = \frac{1}{n+1} ,n=2,3...$ Να βρεθεί στο $f(\frac{3}{5})$ Δεν ξέρω τι να κάνω σε αυτήν την άσκηση το μόνο θέωρημα απο μιγαδική ανάλυση πόυ γνωρίζω που σχέτιζεται με τέτοια άσκηση είναι,
οτι αν f(z)

Ολόμορφη

ακολουθία διαφορετικών σημείων του D τέτοια ώστε $f(z_n) = 0 \forall n\in N$ .Και άν η z_n

συγκλίνει τότε
$f(z)=0 \forall z\in D$

3) Για ποια τιμή του r>0

η εικόνα του κύκλου |z-1|=r

μέσω της απεικόνισης $f(z)=\frac{z-3}{1-2z}$ είναι ευθεία.Βρείτε την ευθεία.
Σε αυτήν την άσκηση αντικατέστησα το z=w=f(z)

στην εξίσωση του κύκλου και ύψωσα στο τετράγωνο στην σχέση του κύκλου και έκανα τις πράξεις το συζηγές δηλάδη $z\bar{z} -z -\bar{z} +1=r^2$ εκανα ελυσα την f(z)

ως προς

και μετά έκανα την αντικατάσταση στον τύπο μετά τι πρέπει να κάνω(θυμάμαι στην περίπτωση $w=\frac{1}{z}$ ότι έπρεπε ο κύκλος να εφάπτεται στο (0,0)

#2

i_am_imbact έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 5:55 am

$f(\frac{2}{n}) = \frac{1}{n+1} ,n=2,3...$

Υπόδειξη στην 2). Γράψε το δεξί μέλος ώς συνάρτηση του $\frac{2}{n}$ . Για διευκόλυνσή σου, το πρώτο βήμα είναι $f(\frac{2}{n}) = \frac{2}{2n+2} =...$

i_am_imbact · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 7:55 am

i_am_imbact έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 5:55 am

$f(\frac{2}{n}) = \frac{1}{n+1} ,n=2,3...$
Υπόδειξη στην 2). Γράψε το δεξί μέλος ώς συνάρτηση του $\frac{2}{n}$ . Για διευκόλυνσή σου, το πρώτο βήμα είναι $f(\frac{2}{n}) = \frac{2}{2n+2} =...$

'Αρα θα γίνει στην μορφή $f(\frac{2}{n}) = \frac{2}{n} \frac{1}{2+\frac{2}{n}}$ 'αρα $f(z_n)= z_n\frac{1}{2+z_n}$ , $z_n= \frac{2}{n}$ , n=1,2,3...
'Αρα θέτουμε $g(z)=f(z) -z\frac{1}{2+z}$ η f(z)

ολόμορφη και επείδη η ανωμαλία της $z\frac{1}{2+z}$ είναι στο σύνορο του δίσκου άρα είναι ολόμορφη στο δίσκο.Επίσης η g(z)

δεν εχει πεπερασμένο πλήθος ριζών άρα ισχύει ότι $g(z)=0 \Rightarrow f(z)=z\frac{1}{2+z} \Rightarrow .....$

#4

i_am_imbact έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 8:16 am
$f(z)=z\frac{1}{2+z} \Rightarrow .....$

Καλό όμως είναι να γράφεις τα κλάσματα σε πιο στάνταρ μορφή, εδώ $\dfrac{z}{2+z}$ ή έστω $z\cdot \frac{1}{2+z}$ . Υπόψη ότι στους αριθμούς είναι, για παράδειγμα, $2\cdot \dfrac{1}{2} \ne 2\dfrac{1}{2}$

Μιγαδική ανάλυση ασκήσεις

Μιγαδική ανάλυση ασκήσεις

Re: Μιγαδική ανάλυση ασκήσεις

Re: Μιγαδική ανάλυση ασκήσεις

Re: Μιγαδική ανάλυση ασκήσεις

Μέλη σε σύνδεση