JBMO Shortlist 2019 - Γεωμετρία

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9010
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

JBMO Shortlist 2019 - Γεωμετρία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Οκτ 11, 2020 6:29 pm

Η παρούσα ανάρτηση θα ανανεωθεί αργότερα και με τα υπόλοιπα προβλήματα.

G1. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC με \hat{A} = 90^{\circ} και \hat{B} = 30^{\circ}. Η κάθετος στο μέσο M του BC τέμνει τη διχοτόμο BK της γωνίας \hat{B} στο σημείο E. Η μεσοκάθετος της EK τέμνει την AB στο D. Να δειχθεί ότι η KD είναι κάθετη στην DE.

(Προτάθηκε από την Ελλάδα)

G2. Έστω τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο \omega. Έστω \ell_B και \ell_C δύο παράλληλες ευθείες οι οποίες περνούν από τα B και C αντίστοιχα. Οι ευθείες \ell_B και \ell_C τέμνουν τον \omega για δεύτερη φορά στα σημεία D και E αντίστοιχα, με το D να ανήκει στο τόξο AB, και το E στο τόξο AC. Υποθέτουμε ότι η DA τέμνει την \ell_C στο F, και η EA τέμνει την \ell_B στο G. Αν O, O_1 και O_2 τα περίκεντρα των τριγώνων ABC, ADG και AEF αντίστοιχα, και P το περίκεντρο του τριγώνου OO_1 O_2, να αποδειχθεί ότι η OP είναι παράλληλη στις \ell_B και \ell_C.

(Προτάθηκε από τα Σκόπια)

G3. Έστω τρίγωνο ABC με έγκεντρο I. Έστω σημεία D και E στα τμήματα CA και BC αντίστοιχα, τέτοια ώστε CD=CE. Έστω σημείο F στο τμήμα CD. Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ABEF είναι περιγράψιμο αν και μόνο αν το τετράπλευρο DIEF είναι εγγράψιμο.

(Προτάθηκε από την Αλβανία)

G4. Έστω τρίγωνο ABC με AB\neq AC και έστω ότι η μεσοκάθετος της BC τέμνει τις AB και AC στα σημεία P και Q, αντίστοιχα. Αν H το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC και M και N τα μέσα των τμημάτων BC και PQ αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι οι HM και AN τέμνονται πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC.

(Προτάθηκε από τη Σερβία)

G5. Έστω σημείο P στο εσωτερικό του τριγώνου ABC. Οι ευθείες AP, BP και CP τέμνουν ξανά τους περιγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων PBC, PCA, και PAB στα D, E και F αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι το P είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου [unparseable or potentially dangerous latex formula] αν και μόνο αν το P είναι το έγκεντρο του τριγώνου ABC.

(Προτάθηκε από τη Ρουμανία)


Λέξεις Κλειδιά:
Shortlist
JBMO
2019
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10777
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: JBMO Shortlist 2019 - Γεωμετρία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Οκτ 11, 2020 7:58 pm

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 11, 2020 6:29 pm
 Η παρούσα ανάρτηση θα ανανεωθεί αργότερα και με τα υπόλοιπα προβλήματα.

G1 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC με \hat{A} = 90^{\circ} και \hat{B} = 30^{\circ}. Η κάθετος στο μέσο M του BC τέμνει τη διχοτόμο BK της γωνίας \hat{B} στο σημείο E. Η μεσοκάθετος της EK τέμνει την AB στο D. Να δειχθεί ότι η KD είναι κάθετη στην DE.

(Προτάθηκε από την Ελλάδα)
Μια λύση αλλά ίσως όχι η πιο ενδεδειγμένη .
JBMO_Sxortlist_γεωμετρία.png
JBMO_Sxortlist_γεωμετρία.png (39.26 KiB) Προβλήθηκε 1347 φορές
Ας είναι H το σημείο τομής των ευθειών AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ME και S το σημείο τομής των ME\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CA.

Από το S θα διέρχεται και η μεσοκάθετός , DN του EK γιατί το τρίγωνο SEK είναι ισοσκελές ( \widehat {SKB} = \widehat {SHK} = 60^\circ + 15^\circ = 75^\circ )

Επειδή το \vartriangle AMC είναι ισόπλευρο θα είναι \vartriangle ABC = \vartriangle MSC , επίσης το H είναι ορθόκεντρο του \vartriangle SBC( που προφανώς είναι ισόπλευρο )

Το τετράπλευρο SAMB είναι εγγράψιμο γιατί τα S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B βλέπουν υπό γωνία 30^\circ την AM.

Το \vartriangle NSB είναι ισοσκελές ορθογώνιο και το \vartriangle DEK ισοσκελές , με ίσες τις γωνίες \widehat {{\theta _{}}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {{\omega _{}}}, λόγω του πιο πάνω εγγράψιμου,.

Άρα θα είναι όμοια οπότε και το \vartriangle DEK ισοσκελές και ορθογώνιο στο D.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9010
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

Re: JBMO Shortlist 2019 - Γεωμετρία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Οκτ 11, 2020 9:24 pm

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 11, 2020 7:58 pm
Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 11, 2020 6:29 pm
 Η παρούσα ανάρτηση θα ανανεωθεί αργότερα και με τα υπόλοιπα προβλήματα.

G1 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC με \hat{A} = 90^{\circ} και \hat{B} = 30^{\circ}. Η κάθετος στο μέσο M του BC τέμνει τη διχοτόμο BK της γωνίας \hat{B} στο σημείο E. Η μεσοκάθετος της EK τέμνει την AB στο D. Να δειχθεί ότι η KD είναι κάθετη στην DE.

(Προτάθηκε από την Ελλάδα)
Μια λύση αλλά ίσως όχι η πιο ενδεδειγμένη .

Η επίσημη λύση που έστειλε η Ελλάδα ήταν διαφορετική. Είχαμε δώσει δυο εναλλακτικές λύσεις που χρησιμοποιούσαν το σημείο S αλλά όχι την εγγραψιμότητα του SAMB.

Σημείωση: Πρόσθεσα και την G2.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14765
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: JBMO Shortlist 2019 - Γεωμετρία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 12, 2020 10:58 am

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 11, 2020 6:29 pm
 Η παρούσα ανάρτηση θα ανανεωθεί αργότερα και με τα υπόλοιπα προβλήματα.

G1. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC με \hat{A} = 90^{\circ} και \hat{B} = 30^{\circ}. Η κάθετος στο μέσο M του BC τέμνει τη διχοτόμο BK της γωνίας \hat{B} στο σημείο E. Η μεσοκάθετος της EK τέμνει την AB στο D. Να δειχθεί ότι η KD είναι κάθετη στην DE.

(Προτάθηκε από την Ελλάδα)
Η μεσοκάθετος του EK τέμνει τις BK, BC στα N, P αντίστοιχα και έστω ότι οι PD, CA τέμνονται στο S.

Οι DP, EK είναι κάθετες και διχοτομούνται, άρα το DEPK είναι ρόμβος.
JBMO shortlist 2019.png
JBMO shortlist 2019.png (18.93 KiB) Προβλήθηκε 1262 φορές
Προφανώς, \displaystyle SE = SK \Leftrightarrow E\widehat SN = N\widehat SK = 15^\circ. Αλλά, \displaystyle N\widehat PM = 75^\circ, οπότε τα M, E, S είναι συνευθειακά.

Τα ορθογώνια τρίγωνα BAC, AMC είναι ίσα, άρα και BAK, SMP, οπότε AK=MP και το SBC είναι ισόπλευρο.

Τέλος από την ισότητα των ισοσκελών SEK, BDP προκύπτει ότι EK=DP άρα το DEPK είναι τετράγωνο και \boxed{E\widehat DK=90^\circ}


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9010
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

Re: JBMO Shortlist 2019 - Γεωμετρία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Οκτ 16, 2020 2:45 pm

Επαναφορά με παράλληλο ανέβασμα και της G3


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14765
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: JBMO Shortlist 2019 - Γεωμετρία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Οκτ 16, 2020 4:53 pm

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 11, 2020 6:29 pm
 Η παρούσα ανάρτηση θα ανανεωθεί αργότερα και με τα υπόλοιπα προβλήματα.


G3. Έστω τρίγωνο ABC με έγκεντρο I. Έστω σημεία D και E στα τμήματα CA και BC αντίστοιχα, τέτοια ώστε CD=CE. Έστω σημείο F στο τμήμα CD. Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ABEF είναι περιγράψιμο αν και μόνο αν το τετράπλευρο DIEF είναι εγγράψιμο.

(Προτάθηκε από την Αλβανία)
Προφανώς \boxed{ID = IE \Leftrightarrow I\widehat ED = I\widehat DE} (1)
G3-2019.png
G3-2019.png (18.81 KiB) Προβλήθηκε 1147 φορές
Έστω ότι το DIEF είναι εγγράψιμο. Επειδή οι AI, BI είναι διχοτόμοι των \widehat A, \widehat B αρκεί να δείξω ότι η FI διχοτομεί την

D\widehat FE και η EI την B\widehat EF. Πράγματι, το πρώτο ισχύει από την (1) ενώ για το δεύτερο είναι I\widehat EB = I\widehat DA = I\widehat EF.

Ομοίως για το αντίστροφο (ακολουθώντας αντίστροφη πορεία).


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9010
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

Re: JBMO Shortlist 2019 - Γεωμετρία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Οκτ 19, 2020 11:33 am

Ανέβηκαν οι G4 (πρόβλημα 3 του διαγωνισμού) και η G5.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες