Ασκήσεις Άλγεβρας

stranger · #41

10) Δείξτε ότι κάθε ομάδα τάξης 1645 δεν είναι απλή.

stranger · #42

11) Έστω ένα σώμα

και μια επέκταση σωμάτων L/F

. Έστω

ένας δακτύλιος με $F \subset R \subset L$ .
Δείξτε ότι ο

είναι σώμα.
edit: Η L/F

είναι αλγεβρική επέκταση.

stranger · #43

12) Βρείτε την ομάδα Galois του πολυωνύμου x^4 + x^2-6

επί του $\mathbb{Q}$ .

stranger · #44

stranger έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 20, 2020 1:05 am
12) Βρείτε την ομάδα Galois του πολυωνύμου επί του $\mathbb{Q}$ .

Υπόδειξη:

, τριώνυμο ως προς

και έτσι βρίσκουμε τις ρίζες. Υπολογίζουμε τον βαθμό επέκτασης και λοιπα..
Σχεδόν τυφλοσούρτης είναι..

bouzoukman · #45

stranger έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 20, 2020 1:05 am
12) Βρείτε την ομάδα Galois του πολυωνύμου επί του $\mathbb{Q}$ .

Λοιπόν έχουμε ότι x^4 + x^2-6=(x^2 + 3)(x^2 - 2)

. Οπότε καταλαβαίνουμε ότι το splitting field του πολυωνύμου είναι το $L=\mathbb{Q}(\sqrt{-3},\sqrt{2})$ . Επειδή υπάρχουν μόνο δύο ομάδες τάξεως

, οι

και $C_2\times C_2$ , καταλαβαίνουμε ότι στην περίπτωσή μας είμαστε στη 2η περίπτωση.

stranger · #46

bouzoukman έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 23, 2020 7:50 pm

stranger έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 20, 2020 1:05 am
12) Βρείτε την ομάδα Galois του πολυωνύμου επί του $\mathbb{Q}$ .
Λοιπόν έχουμε ότι . Οπότε καταλαβαίνουμε ότι το splitting field του πολυωνύμου είναι το $L=\mathbb{Q}(\sqrt{-3},\sqrt{2})$ . Επειδή υπάρχουν μόνο δύο ομάδες τάξεως , οι και $C_2\times C_2$ , καταλαβαίνουμε ότι στην περίπτωσή μας είμαστε στη 2η περίπτωση.

Πρέπει να δικιολογηθεί ότι δεν είναι η $\mathbb{Z}_4$ .
Έπεται από το ότι για κάθε αυτομορφισμό $\sigma$ του σώματος ριζών ισχύει $\sigma ^2=id$ .

bouzoukman · #47

stranger έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 23, 2020 8:07 pm
Πρέπει να δικιολογηθεί ότι δεν είναι η $\mathbb{Z}_4$ .

Αν ήταν

τότε από θεωρία Galois θα ξέραμε ότι υπάρχει μόνο ένα υπόσωμα τάξεως

που δεν ισχύει μιας και έχουμε τουλάχιστον

, τα $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ και $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ (η ουσία της απόδειξη είναι η ίδια με τη δικιά σου!).

stranger · #48

bouzoukman έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 23, 2020 9:30 pm

stranger έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 23, 2020 8:07 pm
Πρέπει να δικιολογηθεί ότι δεν είναι η $\mathbb{Z}_4$ .
Αν ήταν τότε από θεωρία Galois θα ξέραμε ότι υπάρχει μόνο ένα υπόσωμα τάξεως που δεν ισχύει μιας και έχουμε τουλάχιστον , τα $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ και $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ (η ουσία της απόδειξη είναι η ίδια με τη δικιά σου!).

Ωραία δικιολόγηση! Μπράβο!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #49

stranger έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 19, 2020 3:30 pm
10) Δείξτε ότι κάθε ομάδα τάξης 1645 δεν είναι απλή.

https://math.stackexchange.com/question ... q-r-primes

1645=5.7.47

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #50

stranger έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 20, 2020 1:03 am
11) Έστω ένα σώμα και μια επέκταση σωμάτων . Έστω ένας δακτύλιος με $F \subset R \subset L$ .
Δείξτε ότι ο είναι σώμα.
edit: Η είναι αλγεβρική επέκταση.

Το μόνο μη προφανές είναι ότι αν $a\in R,a\neq 0$
εχει αντίστροφο.
Αφού το

είναι αλγεβρικό επί του

υπάρχει πολυώνυμο με συντελεστές
από το

και άρα από το

με

.
Παίρνουμε το ελαχίστου βαθμού.
Τότε $f(0)\neq 0$
Εύκολα βλέπουμε ότι υπάρχει g(x)

με με συντελεστές
από το

και άρα από το

ώστε

Αλλά είναι $f(0)\in F$
και $f(0)\neq 0$ αρα υπάρχει αντίστροφο που ανήκει στο

οπότε και στο

.
Αρα $ag(a)(f(0))^{-1}=1$
που δείχνει ότι το

έχει αντίστροφο.

stranger · #51

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 24, 2020 12:03 am

stranger έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 20, 2020 1:03 am
11) Έστω ένα σώμα και μια επέκταση σωμάτων . Έστω ένας δακτύλιος με $F \subset R \subset L$ .
Δείξτε ότι ο είναι σώμα.
edit: Η είναι αλγεβρική επέκταση.
Το μόνο μη προφανές είναι ότι αν $a\in R,a\neq 0$
εχει αντίστροφο.
Αφού το είναι αλγεβρικό επί του υπάρχει πολυώνυμο με συντελεστές
από το και άρα από το με .
Παίρνουμε το ελαχίστου βαθμού.
Τότε $f(0)\neq 0$
Εύκολα βλέπουμε ότι υπάρχει με με συντελεστές
από το και άρα από το ώστε

Αλλά είναι $f(0)\in F$
και $f(0)\neq 0$ αρα υπάρχει αντίστροφο που ανήκει στο
οπότε και στο .
Αρα $ag(a)(f(0))^{-1}=1$
που δείχνει ότι το έχει αντίστροφο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 23, 2020 11:50 pm

stranger έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 19, 2020 3:30 pm
10) Δείξτε ότι κάθε ομάδα τάξης 1645 δεν είναι απλή.
https://math.stackexchange.com/question ... q-r-primes

Ευχαριστούμε πολύ Σταύρο!
Έπεται και συνέχεια...

stranger · #52

13) Δείξτε ότι κάθε ομάδα τάξης p^3

, όπου

περιττός πρώτος είναι επιλύσιμη.

BAGGP93 · #53

Ἀσκηση 14 Αν

είναι προσεταιριστικός δακτύλιος με μονάδα, τότε να αποδείξετε ότι :\\
1. Υπάρχει μοναδικός μορφισμός δακτυλίων $\mathbb{Z}\to R$ .
2. Υπάρχει το πολύ ένας ισομορφισμός δακτυλίων $R\to \mathbb{Z}$
3. Αν $f\,,g:R\to \mathbb{Z}$ είναι δύο επιμορφισμοί δακτυλίων ώστε $\rm{Ker}(f)=\rm{Ker}(g)$ να δείξετε ότι f=g

.

stranger · #54

BAGGP93 έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 05, 2020 12:14 pm
Ἀσκηση 14 Αν είναι προσεταιριστικός δακτύλιος με μονάδα, τότε να αποδείξετε ότι :\\
1. Υπάρχει μοναδικός μορφισμός δακτυλίων $\mathbb{Z}\to R$ .
2. Υπάρχει το πολύ ένας ισομορφισμός δακτυλίων $R\to \mathbb{Z}$
3. Αν $f\,,g:R\to Z$ είναι δύο επιμορφισμοί δακτυλίων ώστε $\rm{Ker}(f)=\rm{Ker}(g)$ να δείξετε ότι .

1. Αν $f: \mathbb{Z} \rightarrow R$ είναι ομομορφισμός τότε $f(n)=f(1+..+1)=f(1)+..+f(1)= n \cdot 1_R$ , οπότε υπάρχει μοναδικός ομομορφισμός μεταξύ τους.
2. Αν $f: R \rightarrow \mathbb{Z}$ είναι ισομορφισμός, τότε η $f^{-1}$ είναι 1-1 και επί. Επίσης εύκολα μπορούμε να δούμε ότι η $f^{-1}$ είναι ομομορφισμός. Άρα από το 1 έχουμε ότι αν f,g

ισομορφισμοί από το

στο $\mathbb{Z}$ τότε $f^{-1}=g^{-1}$ οπότε f=g

.
3. Αν

επιμορφισμοί με Kerf=Kerg=K

τότε οι απεικονίσεις $f^{*},g^{*}$ με $f^{*}(xK)=f(x)$ και $g^{*}(xK)=g(x)$ είναι ισομορφισμοί δακτυλίων, οπότε από το 2 έχουμε $f^{*}=g^{*}$ .
Άρα $f(x)=f^{*}(xK)=g^{*}(xK)=g(x)$ και το συμπέρασμα έπεται.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #55

stranger έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 24, 2020 10:04 pm
13) Δείξτε ότι κάθε ομάδα τάξης , όπου περιττός πρώτος είναι επιλύσιμη.

https://en.wikipedia.org/wiki/P-group

https://en.wikipedia.org/wiki/Solvable_group

Κάθε ομάδα με p^k

στοιχεία όπου

πρώτος και

μη μηδενικός φυσικός είναι
επιλύσιμη.
Στην συγκεκριμένη περίπτωση
(γιατί το

δεν μπορεί να είναι

δεν το καταλαβαίνω)
αρκεί να χρησιμοποιήσουμε ότι σε μια ομάδα με p^k

στοιχεία το κέντρο είναι μη τετριμμένο
και ότι μια ομάδα με p^2

είναι αβελιανή.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #56

BAGGP93 έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 05, 2020 12:14 pm
Ἀσκηση 14 Αν είναι προσεταιριστικός δακτύλιος με μονάδα, τότε να αποδείξετε ότι :\\
1. Υπάρχει μοναδικός μορφισμός δακτυλίων $\mathbb{Z}\to R$ .

Χάνω κάτι ;
Αν $R=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\times ...\times \mathbb{Z}$
δεν υπάρχουν αρκετοί ;

Ο μηδενικός δεν είναι μορφισμός ;

stranger · #57

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 06, 2020 12:16 am
Χάνω κάτι ;
Αν $R=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\times ...\times \mathbb{Z}$
δεν υπάρχουν αρκετοί ;

Ο μηδενικός δεν είναι μορφισμός ;

Όχι μόνο ένας μορφισμός υπάρχει.
Θεώρησα ότι κάθε μορφισμός στέλνει το μοναδιαίο στοιχείο στο μοναδιαίο στοιχείο.
Πολλές φορές το υποθέτουμε αυτό όταν μιλάμε για μορφισμούς.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #58

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 06, 2020 7:49 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 06, 2020 12:16 am
Χάνω κάτι ;
Αν $R=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\times ...\times \mathbb{Z}$
δεν υπάρχουν αρκετοί ;

Ο μηδενικός δεν είναι μορφισμός ;
Όχι μόνο ένας μορφισμός υπάρχει.
Θεώρησα ότι κάθε μορφισμός στέλνει το μοναδιαίο στοιχείο στο μοναδιαίο στοιχείο.
Πολλές φορές το υποθέτουμε αυτό όταν μιλάμε για μορφισμούς.

Εχεις δίκιο.

https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_homomorphism

Από την άλλη
https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9F%CE ... F%89%CE%BD

λέει τον ορισμό χωρίς μοναδιαίο.

Το ίδιο γίνεται και στο βιβλίο
Μια Εισαγωγή στην Αλγεβρα
Δ.Βαρσος -Δ.Δεριζιώτης κλπ

Κοιτάζοντας διάφορα βιβλία διαπίστωσα ότι τα Ελληνικά έχουν ορισμό χωρίς να απαιτούν που πάει το μοναδιαίο
ενω τα ξενόγλωσσα απαιτούν το μοναδιαίο να πηγαίνει σε μοναδιαίο.

BAGGP93 · #59

Καλημέρα.

Ἀσκηση 15
Αν

είναι μια ακέραια περιοχή, να αποδείξετε ότι η τομή όλων των μεγιστοτικών ιδεωδών στον πολυωνυμικό δακτύλιο R[x]

είναι το μηδενικό ιδεώδες.

stranger · #60

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 06, 2020 10:25 am

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 06, 2020 7:49 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 06, 2020 12:16 am
Χάνω κάτι ;
Αν $R=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\times ...\times \mathbb{Z}$
δεν υπάρχουν αρκετοί ;

Ο μηδενικός δεν είναι μορφισμός ;
Όχι μόνο ένας μορφισμός υπάρχει.
Θεώρησα ότι κάθε μορφισμός στέλνει το μοναδιαίο στοιχείο στο μοναδιαίο στοιχείο.
Πολλές φορές το υποθέτουμε αυτό όταν μιλάμε για μορφισμούς.
Εχεις δίκιο.

https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_homomorphism

Από την άλλη
https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9F%CE ... F%89%CE%BD

λέει τον ορισμό χωρίς μοναδιαίο.

Το ίδιο γίνεται και στο βιβλίο
Μια Εισαγωγή στην Αλγεβρα
Δ.Βαρσος -Δ.Δεριζιώτης κλπ

Κοιτάζοντας διάφορα βιβλία διαπίστωσα ότι τα Ελληνικά έχουν ορισμό χωρίς να απαιτούν που πάει το μοναδιαίο
ενω τα ξενόγλωσσα απαιτούν το μοναδιαίο να πηγαίνει σε μοναδιαίο.

Ναι και εγώ όταν πρωτοέμαθα βασική άλγεβρα διάβαζα το βιβλίο Μια εισαγωγή στην άλγεβρα των Βάρσου-Δεριζιώτη κλπ και εκεί δεν υποθέτουν όταν ένας μορφισμός στέλενει το μοναδιαίο στο μοναδιαίο. Μάλιστα στον ορισμό του δακτυλίου δεν υποθέτουν ότι το μοναδιαίο στοιχείο υπάρχει πάντα.
Αργότερα στα μαθήματα άλγεβρας στο εξωτερικό πάντα υπέθεταν ότι ένας μορφισμός στέλνει το μοναδιαίο στοιχείο στο μοναδιαίο.

Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Μέλη σε σύνδεση