Ρυθμός μεταβολής 1

#1

: Μέγιστο εμβαδόν και ρυθμός.png (11.36 KiB) Προβλήθηκε 1783 φορές

Δυο ημιευθείες $\delta \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon$ τέμνονται στο ${\rm O}$ σχηματίζοντας σταθερή οξεία γωνία $\theta$ .

Σημείο

κινείται στην $\varepsilon$ και ας είναι OA = x

. Με κέντρο το

και ακτίνα $u = 12 - {x^2}$ γράφω κύκλο που τέμνει την $\delta$ στο σημείο

.

α) Βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει η μεταβλητή

.

β) Βρείτε τη θέση του

για την οποία το εμβαδόν του τριγώνου OAB

γίνεται μέγιστο .

γ)Τη χρονική στιγμή ${t_0}$ της προηγούμενης μεγιστοποίησης η πλευρά

αυξάνεται με ρυθμό

μονάδες το $\sec$

Να βρεθεί, την ίδια χρονική στιγμή, ο ρυθμός μεταβολής της πλευράς

.

#2

$\displaystyle{1\ge sin(OBA)=xsin\theta / 12-x^2}$ άρα... $\displaystyle{x<(-sin\theta+\sqrt{48+sin^2\theta})/2}$
$\displaystyle{x>0}$
$\displaystyle{12-x^2>0}$
συναληθεύοντας
$\displaystyle{0<x<(-sin\theta+\sqrt{48+sin^2\theta})/2}$

$\displaystyle{(OBA)=sin\theta /2 (x(xcos\theta+\sqrt{(12-x^2)^2-x^2sin^2\theta}}$

Θα δουμε που γινεται μέγιστο το
$\displaystyle{f(x)=x(xcos\theta+\sqrt{(12-x^2)^2-x^2sin^2\theta)}=}$
$\displaystyle{x^2cos\theta+\sqrt{x^2(12-x^2)^2-x^4sin^2\theta}}$ = $\displaystyle{ycos\theta+\sqrt{y(12-y)^2-y^2sin^2\theta}}$ oπου θεσαμε $\displaystyle{y=x^2}$

$\displaystyle{dg/dy=cos\theta +\frac{(12-y)^2-2sin^2\theta y-2(12-y)y)}{ 2 Sqrt[(12 - y)^2 y - s^2 y^2]}}$

Η Εξισωση $\displaystyle{dg/dy=0}$ ΔΕΝ ΛΥΝΕΤΑΙ ΜΕ ΓΝΩΣΕΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ

#3

εχετε δικιο
ΑΝ μπορει ταυτόχρονα $\displaystyle{sinA=max>0,x(12-x^2)=max>0}$ τοτε ΟΚ
θα εχουμε $\displaystyle{A=\pi/2 x=2}$
$\displaystyle{0<4<-1+\sqrt{48+1}}$
ομως αφου θ=σταθ η γωνία Α εξαρταται από το χ?

#4

Aν δοθουν τα χ,θ το ΟΑΒ κατσκευάζεται αρα η γωνία Α εξαρτάται από το χ

#5

R BORIS έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 05, 2020 9:09 pm
Aν δοθουν τα χ,θ το ΟΑΒ κατσκευάζεται αρα η γωνία Α εξαρτάται από το χ

Το τρίγωνο δεν είναι σταθερό γιατί το

είναι μεταβλητό και γενικά μόνο η γωνία των ημιευθειών είναι σταθερή .

Το δυναμικό αρχείο στο Geogebra το κατασκευάζω .

#6

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 04, 2020 1:09 pm
Μέγιστο εμβαδόν και ρυθμός.png

Δυο ημιευθείες $\delta \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon$ τέμνονται στο ${\rm O}$ σχηματίζοντας σταθερή οξεία γωνία $\theta$ .

Σημείο κινείται στην $\varepsilon$ και ας είναι . Με κέντρο το και ακτίνα $u = 12 - {x^2}$ γράφω κύκλο που τέμνει την $\delta$ στο σημείο .

α) Βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει η μεταβλητή .

β) Βρείτε τη θέση του για την οποία το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται μέγιστο .

γ)Τη χρονική στιγμή ${t_0}$ της προηγούμενης μεγιστοποίησης η πλευρά αυξάνεται με ρυθμό μονάδες το $\sec$

Να βρεθεί, την ίδια χρονική στιγμή, ο ρυθμός μεταβολής της πλευράς .

Δείτε και το δυναμικό αρχείο της άσκησης σε geogebra

Επιλέξετε κίνηση ενεργή στο σημείο (κόκκινο) Του έχω βάλει μικρή ταχύτητα και μείωση, αλλά μπορείτε να τ' αλλάξετε.

Παρατηρήστε ότι όταν η γωνία στο σημείο γίνει ορθή θα έχετε το μέγιστο Εμβαδόν ( )

Επίσης δείτε ότι όταν το μήκος μειώνεται το μήκος αυξάνεται.

#7

Kαλημέρα σε όλους! Εύχομαι Χρόνια πολλά, ευτυχισμένα και με υγεία στον Νίκο!
Μία (ημιτελής) προσπάθεια στο 1ο και 2ο ερώτημα.

: Μέγιστο εμβαδόν και ρυθμός.png (11.36 KiB) Προβλήθηκε 1552 φορές

α) Πρέπει $\displaystyle 0 \le x \le \sqrt {12}$ . Αναγκαία συνθήκη, αλλά όχι ικανή.

Πράγματι, έστω OB=y

, οπότε $\displaystyle {u^2} = {x^2} + {y^2} - 2xy\sigma \upsilon \nu \theta \Leftrightarrow {y^2} - 2xy\sigma \upsilon \nu \theta + {x^2} - {u^2} = 0$

Είναι $\displaystyle \Delta = 4{x^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta - 4{x^{^2}} + 4{u^2} = 4\left( {{u^2} - \eta {\mu ^2}\theta {x^2}} \right)$

Παρατηρώ ότι αν $\theta = \pi/2$ , τότε είναι $\displaystyle 144 + {x^4} - \left( {24 + \eta {\mu ^2}\theta } \right){x^2} \ge 0$ για $0<x\le 3$ , με το "ίσον" στο άκρο του διαστήματος.

Όσο μικραίνει η γωνία, τόσο αυξάνει το διάστημα στο οποίο είναι θετική η Διακρίνουσα. Για $\theta = 0$ είναι μη αρνητική στο $\displaystyle \left( {0,\;\sqrt {12} } \right)$ .

Άρα το πεδίο ορισμού του

εξαρτάται από την τιμή της γωνίας $\theta$ .

β) Σε αυτό το (μεταβλητό) διάστημα, είναι

$\displaystyle \left( {{\rm A}{\rm O}{\rm B}} \right) = \frac{{x \cdot y \cdot \eta \mu \theta }}{2} = \frac{{{x^2}\sigma \upsilon \nu \theta \pm x\sqrt {{{\left( {12 - {x^2}} \right)}^2} - \eta {\mu ^2}\theta \cdot {x^2}} }}{2}$ (Συνεχίζεται ...)

Σταμ. Γλάρος · #8

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 06, 2020 11:11 am
Kαλημέρα σε όλους! Εύχομαι Χρόνια πολλά, ευτυχισμένα και με υγεία στον Νίκο!
Μία (ημιτελής) προσπάθεια στο 1ο και 2ο ερώτημα.

Μέγιστο εμβαδόν και ρυθμός.png

α) Πρέπει $\displaystyle 0 \le x \le \sqrt {12}$ . Αναγκαία συνθήκη, αλλά όχι ικανή.

Πράγματι, έστω , οπότε $\displaystyle {u^2} = {x^2} + {y^2} - 2xy\sigma \upsilon \nu \theta \Leftrightarrow {y^2} - 2xy\sigma \upsilon \nu \theta + {x^2} - {u^2} = 0$

Είναι $\displaystyle \Delta = 4{x^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta - 4{x^{^2}} + 4{u^2} = 4\left( {{u^2} - \eta {\mu ^2}\theta {x^2}} \right)$

Παρατηρώ ότι αν $\theta = \pi/2$ , τότε είναι $\displaystyle 144 + {x^4} - \left( {24 + \eta {\mu ^2}\theta } \right){x^2} \ge 0$ για $0<x\le 3$ , με το "ίσον" στο άκρο του διαστήματος.

Όσο μικραίνει η γωνία, τόσο αυξάνει το διάστημα στο οποίο είναι θετική η Διακρίνουσα. Για $\theta = 0$ είναι μη αρνητική στο $\displaystyle \left( {0,\;\sqrt {12} } \right)$ .

Άρα το πεδίο ορισμού του εξαρτάται από την τιμή της γωνίας $\theta$ .

β) Σε αυτό το (μεταβλητό) διάστημα, είναι

$\displaystyle \left( {{\rm A}{\rm O}{\rm B}} \right) = \frac{{x \cdot y \cdot \eta \mu \theta }}{2} = \frac{{{x^2}\sigma \upsilon \nu \theta \pm x\sqrt {{{\left( {12 - {x^2}} \right)}^2} - \eta {\mu ^2}\theta \cdot {x^2}} }}{2}$ (Συνεχίζεται ...)

Καλημέρα και χρόνια πολλά στους εορτάζοντας.
Σε συνέχεια της σκέψης του κ. Ρίζου είναι:
$\displaystyle \Delta = 4\left( {{u^2} - \eta {\mu ^2}\theta {x^2}} \right) = 4\left( 12-x^2 - \eta {\mu ^2}\theta {x^2}} \right) = 4\left( 12- x^2\left (1 + \eta {\mu ^2}\theta } \right ) \right)$ .
Πρέπει : $\Delta \geq 0\Leftrightarrow 12- x^2\left (1 + \eta {\mu ^2}\theta } \right) \geq 0$ $\Leftrightarrow |x|\leq \dfrac{2\sqrt{3}}{1+\eta \mu \vartheta }\leq2\sqrt{3}$ .
Συναληθεύοντας προκύπτει πεδίο ορισμού για την συνάρτηση το : $\left (0,\dfrac{2\sqrt{3}}{1+\eta \mu \vartheta } \right )$ .
Να τονίσουμε επίσης ότι από τους τύπους Vieta για την δευτεροβάθμια προκύπτει ότι το άθροισμα των ριζών

είναι θετικό.
Έτσι δεν μας ενοχλεί ότι και αν είναι το γινόμενο αφού εξασφαλίζεται μια θετική ρίζα.
Αυτά για το πρώτο υποερώτημα. Θα προσπαθήσω τα υπόλοιπα.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#9

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 04, 2020 1:09 pm
Μέγιστο εμβαδόν και ρυθμός.png

Δυο ημιευθείες $\delta \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon$ τέμνονται στο ${\rm O}$ σχηματίζοντας σταθερή οξεία γωνία $\theta$ .

Σημείο κινείται στην $\varepsilon$ και ας είναι . Με κέντρο το και ακτίνα $u = 12 - {x^2}$ γράφω κύκλο που τέμνει την $\delta$ στο σημείο .

α) Βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει η μεταβλητή .

β) Βρείτε τη θέση του για την οποία το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται μέγιστο .

γ)Τη χρονική στιγμή ${t_0}$ της προηγούμενης μεγιστοποίησης η πλευρά αυξάνεται με ρυθμό μονάδες το $\sec$

Να βρεθεί, την ίδια χρονική στιγμή, ο ρυθμός μεταβολής της πλευράς .

Επανέρχομαι γιατί η άσκηση από λάθος ( δικό μου ), είναι τουλάχιστον ελλιπούς εκφώνησης .

Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία πολλών που ασχολήθηκαν με την άσκηση .

Πιστεύω με την παρακάτω συμπλήρωση να μην έχουμε πρόβλημα.

Δυο ημιευθείες $\delta \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon$ τέμνονται στο ${\rm O}$ σχηματίζοντας σταθερή οξεία γωνία $\theta$ με $\tan \theta = 4$ .

Σημείο

κινείται στην $\varepsilon$ και ας είναι OA = x

. Με κέντρο το

και ακτίνα $u = 12 - {x^2}$ γράφω κύκλο που τέμνει την $\delta$ στο σημείο

.

α) Βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει η μεταβλητή

.

β) Βρείτε τη θέση του

για την οποία το εμβαδόν του τριγώνου OAB

γίνεται μέγιστο .

γ)Τη χρονική στιγμή ${t_0}$ της προηγούμενης μεγιστοποίησης η πλευρά

αυξάνεται με ρυθμό

μονάδες το $\sec$

Να βρεθεί, την ίδια χρονική στιγμή, ο ρυθμός μεταβολής της πλευράς

.

#10

[/b]

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 07, 2020 8:14 pm

Επανέρχομαι γιατί η άσκηση από λάθος ( δικό μου ), είναι τουλάχιστον ελλιπούς εκφώνησης .

Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία πολλών που ασχολήθηκαν με την άσκηση .

Νίκο καλησπέρα. Καμία ταλαιπωρία! Αντιθέτως, βρήκα το θέμα άκρως ενδιαφέρον, όσον αφορά τη διερεύνηση του Πεδίου Ορισμού.

Τέτοια θέματα αξίζουν πραγματικά γιατί ξεφεύγουν από τα τετριμμένα και οδηγούν σε ερευνητικές διεργασίες, που είναι, νομίζω, απαραίτητες για την κατανόηση των μαθηματικών.

Εντάξει, προφανώς δεν ενδείκνυται για "μαζική" κατανάλωση (βλέπε sos θέμα πανελλαδικών κ.λπ), αλλά σε μικρές ομάδες μαθητών με βαθύ ενδιαφέρον για τα μαθηματικά είναι ότι πρέπει!

Ίσως, να αλλάζαμε το φάκελο του θέματος.

#11

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 07, 2020 8:14 pm

Δυο ημιευθείες $\delta \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon$ τέμνονται στο ${\rm O}$ σχηματίζοντας σταθερή οξεία γωνία $\theta$ με $\tan \theta = 4$ .

Σημείο κινείται στην $\varepsilon$ και ας είναι . Με κέντρο το και ακτίνα $u = 12 - {x^2}$ γράφω κύκλο που τέμνει την $\delta$ στο σημείο .

α) Βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει η μεταβλητή .

β) Βρείτε τη θέση του για την οποία το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται μέγιστο .

γ)Τη χρονική στιγμή ${t_0}$ της προηγούμενης μεγιστοποίησης η πλευρά αυξάνεται με ρυθμό μονάδες το $\sec$

Να βρεθεί, την ίδια χρονική στιγμή, ο ρυθμός μεταβολής της πλευράς .

Ας δώσω μιαν απάντηση στα ερωτήματα (α) και (β).

: 08-12-2020 Maximum.png (28.21 KiB) Προβλήθηκε 1374 φορές

Έστω

. Αφού $\tan \theta = 4$ , είναι OB: y = 4x

.

Πρέπει $\displaystyle 0\le a\le \sqrt{12}$ . Αναγκαία συνθήκη, αλλά όχι ικανή.

Για έχει κοινά σημεία η

με τον κύκλο (A, 12-a^2)

πρέπει και αρκεί

$\displaystyle d\left( A,\ OB \right)\le 12-{{a}^{2}}\Leftrightarrow \frac{\left| 4a-1\cdot 0 \right|}{\sqrt{17}}\le 12-{{a}^{2}}\Leftrightarrow \sqrt{17}{{a}^{2}}+4a-12\sqrt{17}\le 0$

Άρα $\displaystyle 0\le a\le \frac{4\sqrt{13}-2}{\sqrt{17}}$ , που περιέχεται στο $\displaystyle \left[ 0,\ 2\sqrt{3} \right]$ .

Είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \theta =4\Rightarrow \eta \mu \theta =\frac{4\sqrt{17}}{17}$

Έστω OB = t

.

Από Ν. Ημιτόνων είναι $\displaystyle \frac{t}{\eta \mu A }=\frac{12-{{a}^{2}}}{\eta \mu \theta }\Leftrightarrow at=\frac{\left( 12a-{{a}^{3}} \right)\eta \mu A}{\eta \mu \theta }$

Για a=2

η παράσταση $\displaystyle 12a-{{a}^{3}}$ παρουσιάζει μέγιστο.

Ταυτόχρονα είναι $\displaystyle \widehat A=90{}^\circ$ .

Πράγματι, είναι AB =8, OA=2

και από Ν. Συνημιτόνων,

$\displaystyle A{{B}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-2OA\cdot OB\sigma \upsilon \nu \theta \Leftrightarrow {{\left( 12-{{a}^{2}} \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{t}^{2}}-2at\frac{\sqrt{17}}{17}$ , άρα $\displaystyle OB=\sqrt{68}$ , δηλαδή AOB

ορθογώνιο.

Οπότε το

άρα και το $\displaystyle \left( OAB \right)=\frac{at}{2}\cdot \eta \mu \theta$ παρουσιάζει μέγιστο ίσο με $\displaystyle {{\left( OAB \right)}_{\max }}=\frac{2\sqrt{68}}{2}\cdot \frac{4\sqrt{17}}{17}=8$ .

Ρυθμός μεταβολής 1

Ρυθμός μεταβολής 1

Re: Ρυθμός μεταβολής 1

Re: Ρυθμός μεταβολής 1

Re: Ρυθμός μεταβολής 1

Re: Ρυθμός μεταβολής 1

Re: Ρυθμός μεταβολής 1

Re: Ρυθμός μεταβολής 1

Re: Ρυθμός μεταβολής 1

Re: Ρυθμός μεταβολής 1

Re: Ρυθμός μεταβολής 1

Re: Ρυθμός μεταβολής 1

Μέλη σε σύνδεση