Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

stranger · #41

13) Έστω συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ Lebesgue ολοκληρώσιμη. Έστω $g(t) = \int_{\mathbb{R}}f(x) e^{i t x} dx$ .
Δείξτε ότι η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ .

mikemoke · #42

14) Έστω

μετρήσιμα τ.ω

i) $\lambda (A_n) \geq 1/2$ για κάθε

ii) $\lambda (A_s \cap A_k ) \leq 1/4$ για κάθε $k \neq s$

Τότε $\lambda (\bigcup _{k=1}^{\infty} A_k) \geq 1$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #43

mikemoke έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 22, 2020 10:25 pm
14) Έστω μετρήσιμα τ.ω

i) $\lambda (A_k) \geq 1/2$ για κάθε

ii) $\lambda (A_s \cap A_k ) \leq 1/4$ για κάθε $k \neq s$

Τότε $\lambda (\bigcup _{k=1}^{\infty} A_k) \geq 1$ .

Υπήρχε ένα τυπογραφικό στην εκφώνηση,το οποίο διόρθωσα.

Πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα.
Να προσθέσω ότι το αποτέλεσμα είναι το καλύτερο δυνατό.
Δηλαδή μπορούμε να βρούμε

A_1,...,A_n,...

μετρήσιμα
ώστε
i) $\lambda (A_k) \geq 1/2$ για κάθε

ii) $\lambda (A_s \cap A_k ) \leq 1/4$ για κάθε $k \neq s$

και $\lambda (\bigcup _{k=1}^{\infty} A_k) =1$

το προτείνω σαν επιπλέον ερώτημα.

Θα περιμένω λύση.
Αν δεν δοθεί σε καμία βδομάδα θα βάλω την δική μου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #44

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 22, 2020 4:29 pm
13) Έστω συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ Lebesgue ολοκληρώσιμη. Έστω $g(t) = \int_{\mathbb{R}}f(x) e^{i t x} dx$ .
Δείξτε ότι η είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ .

Λύσεις που δείχνουν ότι είναι και ομοιόμορφα συνεχής υπάρχουν στο

https://math.stackexchange.com/question ... continuous

Πρόκειται για μια μορφή του μετασχηματισμου Fourier.
https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

Αν θέλουμε απλά την συνέχεια τότε παίρνοντας $t_{n}\rightarrow t_{0}$
και εφαρμόζοντας το κυριαρχιμένης προκύπτει άμεσα.

Γενικά η ομοιόμορφη συνέχεια αποδεικνύεται και χωρίς κυριαρχιμένης.

Τα ίδια ισχύουν και αν θέσουμε
$g(t) = \int_{\mathbb{R}^n}f(x) e^{i t x} dx$ .
οπου $t\in \mathbb{R}^{n}$
και

είναι εσωτερικό γινόμενο

#45

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 25, 2020 10:09 pm
Υπήρχε ένα τυπογραφικό στην εκφώνηση,το οποίο διόρθωσα.

Πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα.
Να προσθέσω ότι το αποτέλεσμα είναι το καλύτερο δυνατό.
Δηλαδή μπορούμε να βρούμε

μετρήσιμα
ώστε
i) $\lambda (A_k) \geq 1/2$ για κάθε

ii) $\lambda (A_s \cap A_k ) \leq 1/4$ για κάθε $k \neq s$

και $\lambda (\bigcup _{k=1}^{\infty} A_k) =1$

το προτείνω σαν επιπλέον ερώτημα.

Θα περιμένω λύση.
Αν δεν δοθεί σε καμία βδομάδα θα βάλω την δική μου.

Σταύρο, πιο τυπογραφικό εννοείς;

Ρωτάω γιατί θυμάμαι ότι ασχολήθηκα για λίγο με την άσκηση αλλά δεν μπορούσα να την λύσω. Δεν θυμάμαι την ακριβή της
εκφώνηση όσο την προσπαθούσα. Ίσως έφταιγε το τυπογραφικό ή ότι την εγκατέλειψα νωρίς γιατί έχω πολύ φόρτο εργασίας
και είμαι πάντα βιαστικός, εκτός όταν ... ξεχνιέμαι.

Όσο για το νέο ερώτημα που θέτεις, το παρακάτω νομίζω ότι μας κάνει. Το κάθε επόμενο σύνολο είναι "το μισό του προηγούμενου συν το μισό του συμπληρώματός του", επ' άπειρον, στο [0,1]

. Στην εικόνα τα πρώτα πέντε σύνολα. Ελπίζω να μη λέω καμιά πατάτα γιατί πάλι δουλεύω υπό πίεση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #46

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 25, 2020 11:42 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 25, 2020 10:09 pm
Υπήρχε ένα τυπογραφικό στην εκφώνηση,το οποίο διόρθωσα.

Πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα.
Να προσθέσω ότι το αποτέλεσμα είναι το καλύτερο δυνατό.
Δηλαδή μπορούμε να βρούμε

μετρήσιμα
ώστε
i) $\lambda (A_k) \geq 1/2$ για κάθε

ii) $\lambda (A_s \cap A_k ) \leq 1/4$ για κάθε $k \neq s$

και $\lambda (\bigcup _{k=1}^{\infty} A_k) =1$

το προτείνω σαν επιπλέον ερώτημα.

Θα περιμένω λύση.
Αν δεν δοθεί σε καμία βδομάδα θα βάλω την δική μου.
Σταύρο, πιο τυπογραφικό εννοείς;

Ρωτάω γιατί θυμάμαι ότι ασχολήθηκα για λίγο με την άσκηση αλλά δεν μπορούσα να την λύσω. Δεν θυμάμαι την ακριβή της
εκφώνηση όσο την προσπαθούσα. Ίσως έφταιγε το τυπογραφικό ή ότι την εγκατέλειψα νωρίς γιατί έχω πολύ φόρτο εργασίας
και είμαι πάντα βιαστικός, εκτός όταν ... ξεχνιέμαι.

Όσο για το νέο ερώτημα που θέτεις, το παρακάτω νομίζω ότι μας κάνει. Το κάθε επόμενο σύνολο είναι "το μισό του προηγούμενου συν το μισό του συμπληρώματός του", επ' άπειρον, στο . Στην εικόνα τα πρώτα πέντε σύνολα. Ελπίζω να μη λέω καμιά πατάτα γιατί πάλι δουλεύω υπό πίεση.

Καλημέρα Μιχάλη.
Σωστή είναι η λύση που έδωσες στο ερώτημα μου.
Είναι ίδια με την δική μου ,μόνο που για μένα ήταν αυτόματο λόγω του
https://en.wikipedia.org/wiki/Rademacher_system

Το τυπογραφικό που διόρθωσα είναι

mikemoke έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 22, 2020 10:25 pm
14) Έστω μετρήσιμα τ.ω

i) $\lambda (A_n) \geq 1/2$ για κάθε

ii) $\lambda (A_s \cap A_k ) \leq 1/4$ για κάθε $k \neq s$

Τότε $\lambda (\bigcup _{k=1}^{\infty} A_k) \geq 1$ .

η i) έπρεπε να είναι

i) $\lambda (A_k) \geq 1/2$ για κάθε

stranger · #47

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 25, 2020 10:47 pm

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 22, 2020 4:29 pm
13) Έστω συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ Lebesgue ολοκληρώσιμη. Έστω $g(t) = \int_{\mathbb{R}}f(x) e^{i t x} dx$ .
Δείξτε ότι η είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ .
Λύσεις που δείχνουν ότι είναι και ομοιόμορφα συνεχής υπάρχουν στο

https://math.stackexchange.com/question ... continuous

Πρόκειται για μια μορφή του μετασχηματισμου Fourier.
https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

Αν θέλουμε απλά την συνέχεια τότε παίρνοντας $t_{n}\rightarrow t_{0}$
και εφαρμόζοντας το κυριαρχιμένης προκύπτει άμεσα.

Γενικά η ομοιόμορφη συνέχεια αποδεικνύεται και χωρίς κυριαρχιμένης.

Τα ίδια ισχύουν και αν θέσουμε
$g(t) = \int_{\mathbb{R}^n}f(x) e^{i t x} dx$ .
οπου $t\in \mathbb{R}^{n}$
και είναι εσωτερικό γινόμενο

Ευχαριστούμε Σταύρο.
Ήταν πολύ εύκολη τελικά!

stranger · #48

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 21, 2020 11:22 pm
11) Έστω και δύο $\sigma$ -άλγεβρες με στοιχεία υποσύνολα των αντίστοιχα.
Έστω $\nu$ ένα πεπερασμένο μέτρο στον . Έστω ότι για κάθε $t \in T$ έχουμε ένα πεπερασμένο μέτρο $\mu_t$ στο ώστε η απεικόνιση $t \rightarrow \mu_t(S)$ είναι - μετρήσιμη για κάθε $S \in A$ .
Δείξτε ότι
α) Η απεικόνιση $\mu(S) = \int_{T} \mu_t(S) d \nu(t)$ είναι μέτρο.
β) Αν μια απεικόνιση είναι $\mu$ - ολοκληρώσιμη τότε $\int_{X}f d \mu = \int_{T} \int_{X} f(x) d\mu_t(x) d \nu(t)$ .

Κανείς;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #49

mikemoke έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 22, 2020 10:25 pm
14) Έστω μετρήσιμα τ.ω

i) $\lambda (A_k) \geq 1/2$ για κάθε

ii) $\lambda (A_s \cap A_k ) \leq 1/4$ για κάθε $k \neq s$

Τότε $\lambda (\bigcup _{k=1}^{\infty} A_k) \geq 1$ .

Θα γράψω την πρώτη λύση που έκανα.
Με όρους θεωρίας Πιθανοτήτων.
Μπορεί να τροποποιηθεί ώστε να μην έχουμε ορολογία Πιθανοτήτων αλλά το θεωρώ ''κλέψιμο''

Εστω $\displaystyle \lambda (\bigcup _{k=1}^{\infty} A_k)=a<1$

Θέτουμε $\displaystyle \bigcup _{k=1}^{\infty} A_k=A$
και θεωρούμε σύνολο

με $A\cap C=\varnothing$

Θεωρούμε την σ-άλγεβρα που παράγουν τα $A_{k},C$

$\Omega =A\cup C$ και $m(A_{k})=\lambda (A_{k}),m(C)=1-a$

Το $(\Omega ,m)$ είναι χώρος Πιθανότητας.

Εστω $m(A_{k})=p_{k}\geq \frac{1}{2}$

Θεωρούμε τις τυχαίες μεταβλητες

$\displaystyle X_k$ με X_k=1

στο $A_{k}$ και

αλλού.

Είναι
$\displaystyle E(X_{k})=p_{k},V(X_k)=p_{k}(1-p_{k})\leq \frac{1}{4}$

Επίσης
$\displaystyle V(\sum_{k=1}^{n}X_k)=\sum_{k=1}^{n}V(X_k)+2\sum _{k<r}cov(X_k,X_r)\leq n\frac{1}{4}$
γιατί
$\displaystyle cov(X_k,X_r)=E(X_kX_r)-E(X_k)E(X_r)\leq \frac{1}{4}-p_k p_r\leq 0$

Εδώ είναι το σημείο που παίζει ρόλο το 1/2,1/4

Είναι
$\displaystyle C\subseteq \left \{ \omega :|\sum_{k=1}^{n}X_k-\sum_{k=1}^{n}p_k|\geq \frac{n}{2} \right \}$

Από την γνωστή ανισότητα του Chebyshev έχουμε
https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev%27s_inequality

$\displaystyle m(C)\leq m(\left \{ \omega :|\sum_{k=1}^{n}X_k-\sum_{k=1}^{n}p_k|\geq \frac{n}{2} \right \})\leq \frac{V(\sum_{k=1}^{n}X_k)}{(\frac{n}{2})^{2}}\leq \frac{1}{n}$

Αρα $\displaystyle m(C)=0$ ΑΤΟΠΟ.

Στην ουσία δείξαμε

Έστω A_1,...,A_n,...

μετρήσιμα τ.ω

i) $\lambda (A_k) \geq a>0$ για κάθε

ii) $\lambda (A_s \cap A_k ) \leq b$ για κάθε $k \neq s$
με $b \leq a^2$

Τότε $\lambda (\bigcup _{k=1}^{\infty} A_k) \geq 1$

stranger · #50

15) Υπολογίστε το $\bigintsss_{0}^{\infty} \frac{x \sin x}{x^2+a^2} dx$ όπου $a \in \mathbb{R}$ και $a \neq 0$ .

stranger · #51

16) Έστω $a,b \in \mathbb{R}$ με a<b

.
Έστω

ολοκληρώσιμη κατά Lebesgue στο [a,b]

. Δείξτε ότι $\lim_{n \rightarrow \infty} \bigintsss_{a}^{b} f(t) cos(nt) dt = 0$ .

stranger · #52

17) Έστω $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ μια συνεχής συνάρτηση.
Δείξτε ότι το γράφημα της συνάρτησης έχει μέτρο Lebesgue(δύο διαστάσεων) 0.

#53

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 28, 2021 11:00 pm
16) Έστω $a,b \in \mathbb{R}$ με .
Έστω ολοκληρώσιμη κατά Lebesgue στο . Δείξτε ότι $\lim_{n \rightarrow \infty} \bigintsss_{a}^{b} f(t) cos(nt) dt = 0$ .

Πρόκειται για το Λήμμα Riemann-Lebesgue που υπάρχει σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Μέτρου και στα βιβλία Σειρών Fourier.

H στάνταρ απόδειξη το δείχνει πρώτα για χαρακτηριστικές συνατρήσεις και άρα για γραμμικούς συνδυασμούς από τέτοιες.

Tolaso J Kos · #54

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 28, 2021 10:51 pm
15) Υπολογίστε το $\bigintsss_{0}^{\infty} \frac{x \sin x}{x^2+a^2} dx$ όπου $a \in \mathbb{R}$ και $a \neq 0$ .

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{x \sin x}{x^2+a^2}\, \mathrm{d} x &= \int_{0}^{\infty} \sin x \int_{0}^{\infty} e^{-x t} \cos a t \, \mathrm{d}t \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\infty} \cos a t \int_{0}^{\infty} e^{-xt} \sin x \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\infty} \frac{\cos at}{t^2+1}\, \mathrm{d} t\\ &= \frac{\pi}{2e^a} \end{aligned}}$

Tolaso J Kos · #55

Με την ίδια τεχνική μπορούμε να υπολογίσουμε και αυτό

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin x}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}\,\mathrm{d}x}$
όπου $a, b \neq 0$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #56

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 28, 2021 11:00 pm
16) Έστω $a,b \in \mathbb{R}$ με .
Έστω ολοκληρώσιμη κατά Lebesgue στο . Δείξτε ότι $\lim_{n \rightarrow \infty} \bigintsss_{a}^{b} f(t) cos(nt) dt = 0$ .

Το καλό ερώτημα είναι.
Ισχύει το παραπάνω αν έχουμε ολοκλήρωμα Riemann ;
(εννοείτε γενικευμένο)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #57

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 28, 2021 11:10 pm
17) Έστω $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ μια συνεχής συνάρτηση.
Δείξτε ότι το γράφημα της συνάρτησης έχει μέτρο Lebesgue(δύο διαστάσεων) 0.

Για Riemann ολοκληρώσιμη είναι τετριμμένο.
Για $\epsilon >0$
βρίσκουμε διαμέριση

με
$U(f,P)-L(f,P)< \epsilon$
κλπ.
Ενδιαφέρον έχει αν η

είναι απλώς μετρίσημη.
(πάλι ισχύει)
Για μη μετρίσημη τι γίνεται ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #58

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 01, 2021 7:30 pm

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 28, 2021 10:51 pm
15) Υπολογίστε το $\bigintsss_{0}^{\infty} \frac{x \sin x}{x^2+a^2} dx$ όπου $a \in \mathbb{R}$ και $a \neq 0$ .

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{x \sin x}{x^2+a^2}\, \mathrm{d} x &= \int_{0}^{\infty} \sin x \int_{0}^{\infty} e^{-x t} \cos a t \, \mathrm{d}t \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\infty} \cos a t \int_{0}^{\infty} e^{-xt} \sin x \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\infty} \frac{\cos at}{t^2+1}\, \mathrm{d} t\\ &= \frac{\pi}{2e^a} \end{aligned}}$

Σαφώς χρειάζεται να δικαιολογηθεί η εναλλαγή των ολοκληρωμάτων.
Επίσης οι τύποι που χρησιμοποιούνται δεν είναι ευρέως γνωστοί.
Ο στάνταρ υπολογισμός είναι με Μιγαδικές συναρτήσεις.
Σχεδόν σε όλα τα βιβλία Μιγαδικής Ανάλυσης υπάρχει σαν παράδειγμα.

Tolaso J Kos · #59

Σταύρο χρησιμοποίησα τύπους Laplace ( μετασχηματισμός και αντίστροφος ). Το μόνο που ίσως δεν είναι γνωστό να 'ναι το τελευταίο ολοκλήρωμα.

stranger · #60

18) Μια από μιγαδική.
Έστω

ολόμορφη στο $|z| \leq R$ με $\lim_{n \rightarrow \infty}f^{(n)}(z) = g(z)$ ομοιόμορφα στο $|z| \leq R$ .
Δείξτε ότι g(z) = c e^z

στο $|z| \leq R$ , όπου

μιγαδική σταθερά.
Εύκολη είναι αν τη δεις σωστά.

Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Μέλη σε σύνδεση