Νέα χορδή

KARKAR · #1

: Νέα χορδή.png (13.65 KiB) Προβλήθηκε 851 φορές

Τα τμήματα AB, CD

, τέμνονται κάθετα στο σημείο

και είναι : SA=SD=m , SB=SC=k

.

Τα σημεία A,C,B,D

είναι ομοκυκλικά (γιατί ; ) . Έστω

το αντιδιαμετρικό του

. Υπολογίστε την C'D

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 07, 2021 11:45 am
Νέα χορδή.pngΤα τμήματα , τέμνονται κάθετα στο σημείο και είναι : .

Τα σημεία είναι ομοκυκλικά (γιατί ; ) . Έστω το αντιδιαμετρικό του . Υπολογίστε την .

Με αρχη των αξόνων το

έχουμε συντεταγμένες $A(0,m),\, D(m,0),\, C(-k,0),\, B(0,-k)$ . Παρατηρούμε τώρα ότι το σημείο $O\left ( \dfrac {m-k}{2}, \dfrac {m-k}{2} \right )$ ισαπέχει από τα A,B,C,D

και συγκεκριμένα

$OA^2=OB^2=OC^2=OD^2=\frac {1}{2} (m^2+k^2)$

Άρα τα σημεία είναι ομοκυκλικά με κύκλο γνωστού κέντρου και ακτίνας $R=\sqrt \frac {1}{2} (m^2+k^2)}$ . Ειδικά CC'=

διάμετρος μήκους

. Από Πυθαγόρειο, x=|m-k|

.

#3

: Νέα χορδή.png (18.02 KiB) Προβλήθηκε 838 φορές

$\boxed{x=m-k}$

#4

#5

Δύο μικρά σχόλια.

α) Υπάρχουν διάφορες αποδείξεις ότι τα A,B,C,D

είναι ομοκυκλικά πέραν της αναφερθείσας. Η πιο απλή είναι από την παρατήρηση $SA\cdot SB = SC\cdot SD$ (δύναμη σημείου).

β) Το γεγονός ότι $SC=k, \, SD=m$ , όσο δηλαδή τα $SD,\,SA$ αντίστοιχα, είναι περιττό για την εύρεη του

. Θα μπορούσαν να είναι κάποια άλλα $SC=k', \, SD=m'$ αρκεί τα A,B,C,B

είναι ομοκυκλικά. Το ίδιο το

βγαίνει ανεξάρτητο από τα $k',\, m'$ , αλλά παραμένει x=m-k

. Η εύρεση του

με τον δεύτερο τρόπο που έγραψα παραπάνω, το λέει αυτό αλλά και η μέθοδος του Γιώργου προσαρμόζεται για το ίδιο συμπέρσαμα.

Νέα χορδή

Νέα χορδή

Re: Νέα χορδή

Re: Νέα χορδή

Re: Νέα χορδή

Re: Νέα χορδή

Μέλη σε σύνδεση