Σχέση για τριχοτόμηση

KARKAR · #1

: Σχέση για τριχοτόμηση.png (76.47 KiB) Προβλήθηκε 884 φορές

Εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την $f(x)=x+\dfrac{1}{x} , x>0$ , στο διάστημα $[a\:,\:b]$ , διαπιστώσαμε ότι

η απόσταση του $\xi$ από το

, είναι το διπλάσια εκείνης από το

. Βρείτε την σχέση μεταξύ των a,b

.

#2

O Rolle δίνει

$b+ \dfrac {1}{b}- a- \dfrac {1}{a}= \left (1- \dfrac {1}{\xi ^2} \right )(b-a) \,(*)$

Και θέλουμε $\xi = \dfrac {2a+b}{3} \, (**)$

Είτε θα λύσουμε πρώτα την (*)

ως προς $\xi$ και μετά θα θέσουμε στη (**)

ή το ανάποδο.

Στην πρώτη περίπτωση $\xi = \sqrt {ab}$ (ενδιαφέρον από μόνο του) και κατόπιν θα βρούμε b=4a

.

Στην δεύτερη η εξίσωση είναι βέβαια

$b+ \dfrac {1}{b}- a+ \dfrac {1}{a}= \left (1- \dfrac {9}{(2a+b) ^2 }\right )(b-a) \,(*)$ .

Αφού διώξουμε έναν κοινό παράγοντα b-a

που θα εμφανιστεί, συνεχίζουμε κανονικά. Θα δώσει 4a^2-5ab+b^2=0

, οπότε

.

KARKAR · #3

Το $\xi$ , λοιπόν , για αυτήν την συνάρτηση είναι το $\sqrt{ab}$ και συνεπώς αποκλείεται να είναι το $\dfrac{a+b}{2}$

(αφού ο γεωμετρικός μέσος είναι πάντα μικρότερος του αριθμητικού , για : 0<a<b

.

Πλην λοιπόν του δευτεροβάθμιου πολυωνύμου δεν βρήκαμε κάποια γνωστή συνάρτηση ,

για την οποία το $\xi$ του Θ.Μ.Τ. , να είναι το $\dfrac{a+b}{2}$ .

Θέτω λοιπόν το ( ανοικτό ) ερώτημα : Υπάρχει άλλη τέτοια συνάρτηση ;

Υπάρχει έστω κάποια παραγωγίσιμη , για την οποία να ισχύει το παραπάνω , έστω για κάποια επιλεγμένα a , b

;

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 10, 2021 12:34 pm
Υπάρχει έστω κάποια παραγωγίσιμη , για την οποία να ισχύει το παραπάνω , έστω για κάποια επιλεγμένα ;

Το ότι υπάρχουν (και μάλιστα άπειρες) τέτοιες για επιλεγμένα a,b

είναι άμεσο. Ακόμα καλύτερα, υπάρχουν άπειρες για oποιονδήποτε δεδομένο τύπο του $\xi \in (a,b)$ , όχι μόνο $(a+b)/2, \, \sqrt {ab}$ ή παρεμφερή:

Φέρνουμε μία κεκλιμμένη και παραπάνω της μία παράλληλη. Φέρνουμε μία κάθετη ενδιάμεσα των $a,\,b$ . Στο σχήμα είναι στην μέση του [a,b]

. Τώρα, δεν έχουμε παρά να σχεδιάσουμε καμπύλη που εφάπτεται της δεύτερης παράλληλης στο κοινό σημείο της με την κάθετο. Τέτοιες καμπύλες υπάρχουν άπειρες, για παράδειγμα τοπικά μπορεί να είναι κύκλος με δεδομένη εφαπτομένη.

Yπάρχουν πολλοί ακόμα τρόποι να κατασκευάζουμε τέτοιες καμπύλες, γεωμετρικά ή αλγεβρικά, για δεδομένα $a,\,b,\,\xi$ .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 10, 2021 12:34 pm
Θέτω λοιπόν το ( ανοικτό ) ερώτημα : Υπάρχει άλλη τέτοια συνάρτηση ;

Ας δούμε έναν αλγεβρικό τρόπο που κατασκευάζει τέτοιες

, ας πούμε για $\xi = \dfrac {a+b}{2}$ για συναρτήσεις στο $[a,\,b]$ . (H μέθοδος γενικεύεται γία ότι άλλο ενδιάμεσο θέλουμε).

Πες λοιπόν ότι έχουμε ανά χείρας μία f_1

της οποίας το $\xi _1$ ικανοποιεί $a < \xi _1 < \dfrac {a+b}{2}$ και μία f_2

της οποίας το $\xi _2$ ικανοποιεί $\dfrac {a+b}{2} < \xi _2 < b$ .

Λύνοντας μια πρωτοβάθμια βρίσκουμε $0< \lambda <1$ με $\lambda \xi_ 1 +(1-\lambda) \xi_2 = \dfrac {a+b}{2}$ . Αυτό πάντα γίνεται διότι $\displaystyle{\xi _1< \dfrac {a+b}{2} < \xi_2}$ (εδώ έχουμε κυρτό συνδυασμό).

Τότε, γι' αυτό το $\lambda$ , η συνάρτηση $\lambda f_1 +(1-\lambda) f_2$ έχει την ζητούμενη ιδιότητα, δηλαδή $\xi= \dfrac {a+b}{2}$ (άμεσο).

KARKAR · #6

: Βρήκαμε μέσο.png (43.57 KiB) Προβλήθηκε 735 φορές

Σύμφωνα με την εκφώνηση πρέπει η "συγκόλληση" των $f_{1} , f_{2}$ να είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση .

Ας δούμε ένα παράδειγμα : Έστω λοιπόν : $f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2+1 & , x\leq 1\\ 4\sqrt{x}-2& , x>1 \end{matrix}\right.$ , η οποία είναι

παραγωγίσιμη και στο $x_{0}=1$ . Επιλέγω b=16

, οπότε υπάρχει ένα a<0

, ώστε η εφαπτομένη

της $C_{f}$ στο σημείο της με τετμημένη $\dfrac{a+b}{2}$ , να είναι παράλληλη προς την χορδή

. Δυστυχώς

ο υπολογισμός του

, οδηγεί σε εξίσωση πέμπτου βαθμού . Πάντως είναι περίπου : $a\simeq -0,861632$ .

#7

Υπάρχουν πολύ ευκολότερα παραδείγματα με $\xi = (a+b)/2$ , αν σκεφτούμε γεωμετρικά.

Δίνω δύο απλά με χρήση συμμετρίας, με οριζόντια εφαπτομένη, αλλά εύκολα γενικεύει κανείς σε "ότι θέλει". Το τρίτο σχόλιο είναι ένας τρόπος να κατασκευάζουμε νέες συναρτήσεις από παλιές, με όση πολυπλοκότητα θέλουμε.

Πάρε

1) To ημικύκλιο $f(x) = \sqrt {1-x^2}$ στο $[-1,\,1]$ ή οποιοδήποτε τμήμα του με χορδή/βάση παράλληλη της οριζόντιας. Η εφαπτομένη στην κορυφή, δηλαδή στο $\xi=0 = (1-1)/2$ , είναι βέβαια οριζόντια, οπότε τελειώσαμε. Βλέπε σχήμα.

Αλλιώς, πάρε

2) Ένα συμμετρικό κομμάτι μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης, π.χ. $f(x) = \cos \frac {\pi x}{2}$ στο [-1,1]

. Εδώ έχει οριζοντια εφαπτομένη στο μέσον $\xi=0$ του διαστήματος.

3) Με γραμμικό συνδυασμό συναρτήσεων οι οποίες έχουν $\xi = (a+b)/2$ , όπως οι παραπάνω ή όπως οι συναρτήσεις $\,ax^2+bx+c$ , κατασκευάζουμε όσες άλλες θέλουμε. Π.χ. η

$f(x)= 2021 \sqrt {1-x^2} + 1000 \cos \frac {\pi x}{2} -3x^2+2x+7$ στο $[-1,\,1]$ έχει την ζητούμενη ιδιότητα.

To 3) λέει ότι μπορούμε να κάνουμε την κλίση όση θέλουμε, όχι μόνο

, όπως κάναμε στα δύο πρώτα παραδείγματα. Π.χ. αν θέλουμε κλίση 2021

, ιδού

$\displaystyle{f(x)= \sqrt {1-x^2} +x^2+2021x$ στο $[-1,\,1]}$

Ατέλειωτα τα παραδείγματα, όσο έχει η φαντασία σου.

Σχέση για τριχοτόμηση

Σχέση για τριχοτόμηση

Re: Σχέση για τριχοτόμηση

Re: Σχέση για τριχοτόμηση

Re: Σχέση για τριχοτόμηση

Re: Σχέση για τριχοτόμηση

Re: Σχέση για τριχοτόμηση

Re: Σχέση για τριχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση