Ρόμβος άλλου τύπου

KARKAR · #1

: Ρόμβος άλλου τύπου.png (11.76 KiB) Προβλήθηκε 932 φορές

Βρείτε έναν τρόπο να κατασκευάζετε ρόμβους , των οποίων η περίμετρος να ισούται ( αριθμητικά )

με το εμβαδόν τους . Αν η οξεία γωνία ενός τέτοιου ρόμβου είναι 45^0

, πόσο είναι το εμβαδόν του ;

Επιτρέπεται η ήπια χρήση λογισμικού .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 29, 2021 2:58 pm
Ρόμβος άλλου τύπου.pngΒρείτε έναν τρόπο να κατασκευάζετε ρόμβους , των οποίων η περίμετρος να ισούται ( αριθμητικά )

με το εμβαδόν τους . Αν η οξεία γωνία ενός τέτοιου ρόμβου είναι , πόσο είναι το εμβαδόν του ;

Επιτρέπεται η ήπια χρήση λογισμικού .

Έστω

η πλευρά του ρόμβου και AC=2y, BD=2x,

τότε ο ρόμβος κατασκευάζεται από τις διαγώνιές του:

: Ρόμβος.Κ..png (10.42 KiB) Προβλήθηκε 915 φορές

$\boxed{ AC = \sqrt {{a^2} + 4a} + \sqrt {{a^2} - 4a} ,BD = \sqrt {{a^2} + 4a} - \sqrt {{a^2} - 4a} , a>4}$ (*)

Απόδειξη: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = {a^2}\\ xy = 2a \end{array} \right. \Rightarrow {(x + y)^2} - 2xy = {a^2} \Leftrightarrow x + y = \sqrt {{a^2} + 4a}$

Οι x, y

είναι λοιπόν ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle {t^2} - \sqrt {{a^2} + 4a} + 2a = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{\sqrt {{a^2} + 4a} \pm \sqrt {{a^2} - 4a} }}{2},a > 4$

Αν η μία γωνία του είναι 45^0,

τότε $\displaystyle {a^2}\sin 45^\circ = 4a \Leftrightarrow$ $\boxed{a=4\sqrt 2}$ και $\boxed{(ABCD)=16\sqrt 2}$

(*) Αν a=4,

τότε έχουμε τετράγωνο.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 29, 2021 2:58 pm
Ρόμβος άλλου τύπου.pngΒρείτε έναν τρόπο να κατασκευάζετε ρόμβους , των οποίων η περίμετρος να ισούται ( αριθμητικά )

με το εμβαδόν τους . Αν η οξεία γωνία ενός τέτοιου ρόμβου είναι , πόσο είναι το εμβαδόν του ;

Επιτρέπεται η ήπια χρήση λογισμικού .

Για οποιοδήποτε a>4

κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο με μία κάθετο

και υποτείνουσα

(άμεσο). Aν $\theta$ η γωνία απέναντι της

, δηλαδή αν $\sin \theta = \frac {4}{a}$ , τότε ο ρόμβος πλευράς

οξείας γωνίας $\theta$ είναι του ζητούμενου τύπου. Πράγματι

$E =a^2\sin \theta = 4a =$ περίμετρος.

Για a=4

έχουμε το τετράγωνο.

Τέλος, όλες οι περιτώσεις τέτοιων ρόμβων ικανοποιούν $a\ge 4$ και προκύπτουν από την παραπάνω κατασκευή (τα βήματα είναι αντιστρέψιμα). Με άλλα λόγια, για οποιοδήποτε $a\ge 4$ βρίσκουμε το ταίρι του $\theta$ για τέτοιο ρόμβο και, ανάποδα, για οποιαδήποτε γωνία $0< \theta \le 90$ βρίσκουμε το ταίρι του $a\ge 4$ για τέτοιο ρόμβο.

KARKAR · #4

: Λαμπρός ρόμβος.png (8.64 KiB) Προβλήθηκε 891 φορές

.. και λύνεται ευκολότερα και το δεύτερο ερώτημα

#5

Τελικά, συνοψίζοντας, οι ζητούμενοι ρόμβοι είναι ακριβώς εκείνοι που έχουν ύψος

.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 29, 2021 8:03 pm
Τελικά, συνοψίζοντας, οι ζητούμενοι ρόμβοι είναι ακριβώς εκείνοι που έχουν ύψος .

Ωραία παρατήρηση Μιχάλη

Ρόμβος άλλου τύπου

Ρόμβος άλλου τύπου

Re: Ρόμβος άλλου τύπου

Re: Ρόμβος άλλου τύπου

Re: Ρόμβος άλλου τύπου

Re: Ρόμβος άλλου τύπου

Re: Ρόμβος άλλου τύπου

Μέλη σε σύνδεση