Hong Kong προκριματικός 1994

2nisic · #1

Να βρεθούν όλοι οι x,y,z

φυσική αριθμοί τέτοιοι ώστε:

$7^{x}+1=3^{y}+5^{z}$

Σημείωση:Δεν έχω λύση(βρήκα)

Joaakim · #2

2nisic έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 30, 2021 9:03 pm
Να βρεθούν όλοι οι φυσική αριθμοί τέτοιοι ώστε:

$7^{x}+1=3^{y}+5^{z}$

Σημείωση:Δεν έχω λύση(βρήκα)

Δες εδώ- https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 62#p283462.

2nisic · #3

Μίας και έχει ξανατεθει την μετατρέπω λίγο.
Να βρεθούν όλοι οι x,y,z,w,t

φυσικοί αριθμοί τετοιοι ώστε:

7^x+1=3^y*19^z*2^t+5^w

Philip.kal · #4

Λάθος.

2nisic · #5

Philip.kal έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 31, 2021 11:11 am
Καλημέρα. Με $\mod 7$ παίρνουμε: $LHS \equiv 1 (\mod 7)$ . Επίσης, είναι: $3^y \cdot 19^z \equiv 1 (\mod 7)$ . Συνεπώς, προκειμένου να υπάρξει λύση, θα πρέπει: $5^w \equiv 0 (\mod 7)$ . Όμως, είναι $5^w \equiv (-2)^w (\mod 7)$
, οπότε, καταλήγουμε σε άτοπο. Συνεπώς, η δοθείσα εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Η λύσει σου έχει λαθοι.
$3^y \cdot 19^z \equiv 1 (\mod 7)$ αυτό δεν ισχύει πάντα π.χ. y=2

και

Υπάρχουν λύσεις π.χ. x=y=w=1

και

Joaakim · #6

2nisic έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 31, 2021 12:22 am
Μίας και έχει ξανατεθει την μετατρέπω λίγο.
Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί τετοιοι ώστε:

Αν

, τότε το

είναι άρτιος αριθμός, ενώ το RHS

περιττός, άτοπο.
Άρα t=0

, και έχω την $7^{x}+1=3^{y} 19^{z}+5^{w}$ .
- Αν x=0

, τότε $3^{y} 19^{z}+5^{w}=2 \Rightarrow y=z=w=0 \Rightarrow (x,y,z,t,w)=(0,0,0,0,0)$ .
Από εδώ και στο εξής υποθέτω ότι x>0

.
- Αν

, τότε έχω την $7^{x}+1=19^{z}+5^{w}$ .
Για w=0

έχω $7^{x}=19^{z} \Rightarrow x=z=0$ , άτοπο.
Θεωρώ ότι w>0

.
Με

είναι $(-1)^{w}=1^{x}+1-1^{z}=1 (mod.3)$ , άρα ο

άρτιος. Θέτω $w=2w_{1}$ .
Έτσι έχω την $7^{x}+1=19^{z}+25^{w_{1}}$ .
Με mod.5

έχω ότι $2^{x}=(-1)^{z}-1(mod.5)$ .
Αν ήταν τώρα

άρτιος, τότε $2^{x}=0(mod.5) \Rightarrow 5|2^{x}$ , άτοπο.
Άρα

περιττός, και τότε $2^{x}=-2=3(mod.5)$ .
Λόγω του ότι $\varphi(5)=4$ , μπορούμε να πάρουμε ότι $ord_{5} (2)=4$ , και ακολουθεί ότι x=3(mod.4)

.
Θέτω $z=2z_{1}+1$ , $x=2x_{1}+1$ , και έτσι έχω την $7 \cdot 49^{x_{1}}+1=19^{2z_{1}+1}+25^{w_{1}}$ .
Με mod.8

τώρα παίρνω ότι $7 \cdot 1^{x_{1}}+1=3^{2z_{1}+1}+1^{w_{1}} (mod.8) \Rightarrow 7+1=3 \cdot 9^{z_{1}}+1 \Rightarrow$
$\Rightarrow 7=3 \cdot 1^{z_{1}} (mod.8) \Rightarrow 7=3(mod.8)$ , που είναι προφανώς άτοπο.
Από εδώ και στο εξής θεωρώ ότι y>0

.
- Αν

, τότε έχω την αρχική. Από εδώ και στο εξής θεωρώ ότι z>0

.
- Αν

, τότε έχω την $7^{x}=3^{y} 19^{z} \Rightarrow x=y=z=0$ , άτοπο.
Από εδώ και στο εξής θεωρώ ότι w>0

.

- Μας μένει τώρα η εξίσωση $7^{x}+1=3^{y} 19^{z}+5^{w}$ , για x,y,z,w>0

.
Έχω δοκιμάσει πολλά modulo

, και πήρα ότι x,z,w

περιττοί και

άρτιος,
αλλά δεν μπόρεσα να πάρω άτοπο (είμαι σίγουρος ότι δεν έχουμε λύσεις), ας με διαφωτίσει κάποιος

.

2nisic · #7

2nisic έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 31, 2021 12:22 am
Μίας και έχει ξανατεθει την μετατρέπω λίγο.
Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί τετοιοι ώστε:

Προφανώς

θα δείξουμε ότι z=0

.
Αν

τότε:
Με

έχουμε:
$LHS\equiv 2,8,12(mod19)$
$RHS\equiv 1,4,5,6,7,9,11,16,17(mod19)$
Αδύνατο!

Άρα καταλήγουμε στην 7^x+1=3^y+5^w

που έχει λυθεί!

Hong Kong προκριματικός 1994

Hong Kong προκριματικός 1994

Re: Hong Kong προκριματικός 1994

Re: Hong Kong προκριματικός 1994

Re: Hong Kong προκριματικός 1994

Re: Hong Kong προκριματικός 1994

Re: Hong Kong προκριματικός 1994

Re: Hong Kong προκριματικός 1994

Μέλη σε σύνδεση