ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να δείξετε οτι το πολυώνυμο $\displaystyle{(\alpha+\beta+\gamma)^{\mu}-\alpha^{\mu}-\beta^{\mu}-\gamma^{\mu} }$ όπου $\displaystyle{\mu }$ περιττός θετικός, διαιρείται από το γινόμενο $\displaystyle{(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)}$

2. Να δειχθεί οτι η παράσταση $\displaystyle{K=(\alpha^2+\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)(\beta^2+\beta\gamma+\gamma\alpha+\alpha\beta)(\gamma^2+\beta\gamma+\gamma\alpha+\alpha\beta)}$ είναι τετράγωνο μιας άλλης ρητής παράστασης ως προς $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ και να βρεθεί αυτή.

3. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \displaystyle\frac{xy}{5x+4y}=3 \\ \\ \displaystyle\frac{yw}{3y+5w}=7 \\ \\ \displaystyle\frac{wx}{2w+3x}=6 \end{cases} }$

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε: 3. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \displaystyle\frac{xy}{5x+4y}=3 \\ \\ \displaystyle\frac{yw}{3y+5w}=7 \\ \\ \displaystyle\frac{wx}{2w+3x}=6 \end{cases} }$

Όμοια με αυτή (και την παραπομπή) προκύπτει : $\displaystyle{x=63,y=\frac{84}{5},w=\frac{105}{2}}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

parmenides51 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 05, 2013 8:20 am

2. Να δειχθεί οτι η παράσταση $\displaystyle{K=(\alpha^2+\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)(\beta^2+\beta\gamma+\gamma\alpha+\alpha\beta)(\gamma^2+\beta\gamma+\gamma\alpha+\alpha\beta)}$ είναι τετράγωνο μιας άλλης ρητής παράστασης ως προς $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ και να βρεθεί αυτή.

Το θέμα αυτό σκοπεύω να το θέσω στα τρία τμήματα Γ' Γυμνασίου που έχω φέτος, για αυτό το λύνω...
Σήμερα και χθες έψαχνα για κατάλληλα θέματα...

$\alpha^2+\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\alpha \left ( \alpha +\beta \right )+\gamma \left ( \beta +\alpha \right )=$
$\left ( \alpha +\gamma \right )\left ( \alpha +\beta \right )$

$\beta^2+\beta\gamma+\gamma\alpha+\alpha\beta=\beta \left ( \beta +\gamma \right )+\alpha \left (\gamma +\beta \right )=$
$\left ( \beta +\gamma \right )\left ( \beta +\alpha \right )$

$\gamma^2+\beta\gamma+\gamma\alpha+\alpha\beta=\gamma \left ( \gamma +\beta \right )+\alpha \left ( \gamma +\beta \right )=$
$\left ( \gamma +\beta \right )\left ( \gamma +\alpha \right )$

Συνεπώς $K=\left ( \alpha +\beta \right )^{2}\left ( \beta +\gamma \right )^{2}\left ( \gamma +\alpha \right )^{2}=\left [ \left ( \alpha +\beta \right )\left ( \beta +\gamma \right )\left ( \gamma +\alpha \right ) \right ]^{2}$

Christos.N · #4

Μια μερική απάντηση

parmenides51 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 05, 2013 8:20 am
1. Να δείξετε οτι το πολυώνυμο $\displaystyle{(\alpha+\beta+\gamma)^{\mu}-\alpha^{\mu}-\beta^{\mu}-\gamma^{\mu} }$ όπου $\displaystyle{\mu }$ περιττός θετικός, διαιρείται από το γινόμενο $\displaystyle{(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)}$

Έστω $\alpha\neq\beta\neq\gamma\neq\alpha$

Ας είναι $P(\alpha,\beta,\gamma)=(\alpha+\beta+\gamma)^{\mu}-\alpha^{\mu}-\beta^{\mu}-\gamma^{\mu}$ τότε $P(-\beta,\beta,\gamma)=0$ άρα $P(\alpha,\beta,\gamma)=(\alpha+\beta)Q(\alpha,\beta,\gamma)$ .

Είναι όμως και $P(\alpha,-\gamma,\gamma)=0$ ενώ $\alpha-\gamma\neq 0$ άρα $P(\alpha,\beta,\gamma)=(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)Q'(\alpha,\beta,\gamma)$

Ομοίως $P(\alpha,\beta,-\alpha)=0$ και $(\alpha+\beta)(\beta-\alpha)\neq0$ άρα $P(\alpha,\beta,\gamma)=(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)Q''(\alpha,\beta,\gamma)$

Αν πάλι ισχύει ένα από τα $\alpha=\beta ,~\alpha=\gamma,~\gamma=\alpha$ , ας είναι $\alpha=\beta$ και $\alpha\neq\gamma$

Τότε $P(\alpha,\gamma)=(2\alpha+\gamma)^{\mu}-2\alpha^{\mu}-\gamma^{\mu}$ , παρατηρούμε ότι:

$(2\alpha+\gamma)^\mu-2\alpha^{\mu}-\gamma^{\mu}= \sum_{i=0}^{\mu}\binom{\mu}{i}(2\alpha)^{i}\gamma^{\mu-i}-2\alpha^{\mu}-\gamma^{\mu}=\sum_{i=1}^{\mu}\binom{\mu}{i}(2\alpha)^{i}\gamma^{\mu-i}-2\alpha^{\mu}$

$\Rightarrow 2/(2\alpha+\gamma)^\mu-2\alpha^{\mu}-\gamma^{\mu}$

Άρα $P(\alpha,\gamma)=2Q(\alpha,\gamma)$

επίσης $P(0,\gamma)=0$ συνεπώς $P(\alpha,\gamma)=2\alpha Q'(\alpha,\gamma)$ και $P(-\gamma,\gamma)=0$ άρα $P(\alpha,\gamma)=2\alpha(\alpha+\gamma)Q'(\alpha,\gamma)$ ...εδώ έχω κολλήσει....

Στην ειδική όπου $\alpha=\beta=\gamma$

Το πολυώνυμο γίνεται $P(\alpha)=(3^{\mu}-3)\alpha^{\mu}$ η απαίτηση $\mu\ge3$ είναι επιτακτική. Μπορούμε να δούμε ότι $8/3^{\mu}-3$ καθώς επαληθεύεται με επαγωγή. Δηλαδή $(\alpha+\alpha)^3$ διαιρεί το $P(\alpha)$

#5

Χρήστο, αν κρίνω από τα βιβλία της τότε εποχής, ιδίως του Μικρού Πολυτεχνείου, εξυπακούεται ότι
τα a,b,c

είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Θέλω να πω ότι το πρώτο μέρος της λύσης σου, επαρκούσε για τους τότε υποψηφίους.

Christos.N έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 15, 2021 6:50 pm
Μια μερική απάντηση
$\Rightarrow 2/(2\alpha+\gamma)^\mu-2\alpha^{\mu}-\gamma^{\mu}$

Άρα $P(\alpha,\gamma)=2Q(\alpha,\gamma)$

επίσης $P(0,\gamma)=0$ συνεπώς $P(\alpha,\gamma)=2\alpha Q'(\alpha,\gamma)$ και $P(-\gamma,\gamma)=0$ άρα $P(\alpha,\gamma)=2\alpha(\alpha+\gamma)Q'(\alpha,\gamma)$ ...εδώ έχω κολλήσει....

Τώρα, αν θέλουμε να συνεχίσουμε, όπως πολύ ορθά κάνεις, έχουμε δύο τρόπους. Σπεύδω να τονίσω ότι είναι εκτός ύλης για το Μικρό Πολυτεχνείο, αν και επιτρεπτό σήμερα.

α) Αφού δείξουμε την ταυτότητα που έδειξες, για $a\ne b \ne c \ne a$ , παίρνουμε όριο $b\to a$ , οπότε έπεται και η περίπτωση a=b

.

Αλλιώς

β) Κοιτάμε (όπως έκανες) το αριστερό μέλος ως πολυώνυμο του

. Έδειξες λοιπόν ότι το (2a+c)^m-2a^m -c^m

για

περιττό, έχει ρίζα την

. Θέλουμε να δείξουμε ακόμα ότι είναι διπλή ρίζα. Απλά παραγωγίζουμε ως προς

και βάζουμε a=-c

(άμεσο ότι μηδενίζεται).

Και ένα τελευταίο: Έδειξες ότι $2/(2\alpha+\gamma)^\mu-2\alpha^{\mu}-\gamma^{\mu}$ . Αυτό περιττεύει γιατί εδώ εννοείται η διαιρετότητα πολυωνύμων, όχι αριθμών. Για παράδειγμα στα πολυώνυμα το 2x|x

επιτρέπεται (έπεται από τον ορισμό), πράγμα που βέβαια δεν ισχύει στους αριθμούς.

Christos.N · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 15, 2021 7:47 pm

β) Κοιτάμε (όπως έκανες) το αριστερό μέλος ως πολυώνυμο του . Έδειξες λοιπόν ότι το για περιττό, έχει ρίζα την . Θέλουμε να δείξουμε ακόμα ότι είναι διπλή ρίζα. Απλά παραγωγίζουμε ως προς και βάζουμε (άμεσο ότι μηδενίζεται).

Και ένα τελευταίο: Έδειξες ότι $2/(2\alpha+\gamma)^\mu-2\alpha^{\mu}-\gamma^{\mu}$ . Αυτό περιττεύει γιατί εδώ εννοείται η διαιρετότητα πολυωνύμων, όχι αριθμών. Για παράδειγμα στα πολυώνυμα το επιτρέπεται (έπεται από τον ορισμό), πράγμα που βέβαια δεν ισχύει στους αριθμούς.

Κύριε Μιχάλη ευχαριστώ πάρα πολύ, δεν το σκέφτηκα αυτό με την παράγωγο γιατί επέμενα σε συγκεκριμένο πλαίσιο. Τώρα αυτό με την διαιρετότητα με δεύτερη ματιά καταλαβαίνω πόσο ανούσιο είναι, αλίμονο στον λύτη που έχει αγκυλώσεις.

ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση