Σύγκριση αριθμών

Tolaso J Kos · #1

Να συγκριθούν οι αριθμοί $\displaystyle{\left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)^{\alpha+\beta}}$ , $\alpha^\alpha\beta^\beta$ όπου $\alpha, \beta>0$ .

Δεν έχω απάντηση.

Υ.Σ: Το πρώτο ερώτημα είναι να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η $f(x) = x \ln x$ . Στα εργαλεία δεν είναι ακόμα η κυρτότητα.

Τσιαλας Νικολαος · #2

Αποστολή καλησπέρα! Η jensen μιλάει για κυρτότητα αλλά ουσιαστικά χρειάζεται ότι η πρώτη παράγωγος είναι αύξουσα ή φθίνουσα...

BAGGP93 · #3

Επειδή αναφερόμαστε σε θετικές ποσότητες και ο λογάριθμος είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο $\left(0,+\infty\right)$ αρκεί να συγκρίνουμε τους

λογαρίθμους των αριθμών αυτών. Έχουμε $\displaystyle{\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{a+b}=(a+b)\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)}$

και απ΄ την άλλη $\,\,\ln(a^a\,b^b)=\ln\,a^a+\ln\,b^b=a\,\ln\,a+b\,\ln\,b$

Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f(x)=x\,\ln\,x\,,x>0$ έχουμε $f^{\prime}(x)=\ln\,x+1\,,x>0$ , οπότε η $f^{\prime}$ είναι γνησίως αύξουσα στο

$\left(0,+\infty\right)$ . Δύο φορές εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την

στα διαστήματα $\left[a,\dfrac{a+b}{2}\right]\,\,,\left[\dfrac{a+b}{2},b\right]$

οπότε υπάρχουν $\xi_1\in\left(a,\dfrac{a+b}{2}\right)\,,\xi_2\in\left(\dfrac{a+b}{2},b\right)$ τέτοια ώστε

$\begin{aligned}f^{\prime}(\xi_1)&=\dfrac{1}{(a+b)/2-a}\left(f\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)-f(a)\right)\\&=\dfrac{2}{b-a}\left(\dfrac{a+b}{2}\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)-a\,\ln\,a\right)\\&=\dfrac{1}{b-a}\left((a+b)\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)-2\,a\,\ln\,a\right\right) \end{aligned}$

όπως επίσης

$\begin{aligned} f^{\prime}(\xi_2)&=\dfrac{1}{b-(a+b)/2}\left(f(b)-f\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\right)\\&=\dfrac{2}{b-a}\left(b\,\ln\,b-\dfrac{a+b}{2}\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\right)\\&=\dfrac{1}{b-a}\left(2\,b\,\ln\,b-(a+b)\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\right)\end{aligned}$

Έχουμε τώρα διαδοχικά

$\begin{aligned}\xi_1<\xi_2&\implies f^{\prime}(\xi_1)<f^{\prime}(\xi_2)\\&\implies \dfrac{1}{b-a}\left((a+b)\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)-2\,a\,\ln\,a\right)< \dfrac{1}{b-a}\left(2\,b\,\ln\,b-(a+b)\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\right)\\&\implies (a+b)\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)-2\,a\,\ln\,a<2\,b\,\ln\,b-(a+b)\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\\&\implies 2\,(a+b)\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)<2\,a\,\ln\,a+2\,b\,\ln\,b\\&\implies \ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{a+b}<\ln\,(a^a\,b^b)\\&\implies \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{a+b}<a^a\,b^b \end{aligned}$

Τσιαλας Νικολαος · #4

Αυτό ακριβώς εννοούσα...ουσιαστικά γίνεται η απόδειξη της Jensen...οπότε αντί να πουμε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή λέμε ότι η παράγωγος είναι αύξουσα

Tolaso J Kos · #5

Οπότε η άσκηση πάει περίπατο ... αφού δεν έχω ούτε το Θ.Μ.Τ στη διάθεσή μου.

#6

Πιο απλά (νομίζω) ... αν λογαριθμήσουμε και θέσουμε $g(b)=alna+blnb-(a+b)ln\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$ για $b\geq a$ ... τότε $g'(b)=lnb-ln\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\geq 0$ , άρα $g(b)\geq g(a)=0$ .

Σύγκριση αριθμών

Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Μέλη σε σύνδεση