Δύο τετράγωνα

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (13.63 KiB) Προβλήθηκε 1099 φορές

Τα $ABCD,\,DEZH$ είναι τετράγωνα, με $Z \in BC$ και $K \equiv CD \cap ZH$

Αν AB = 1

και

, να βρείτε το εμβαδόν του $\triangle DHK$

#2

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 28, 2021 11:01 pm
shape.pngΤα $ABCD,\,DEZH$ είναι τετράγωνα, με $Z \in BC$ και $K \equiv CD \cap ZH$

Αν και , να βρείτε το εμβαδόν του $\triangle DHK$

Καλημέρα σε όλους!

: 2 τετράγωνα.png (16.06 KiB) Προβλήθηκε 1048 φορές

$\displaystyle (DHK) = \frac{{2\sqrt 3 - 3}}{3}$

edit: Άρση απόκρυψης.

STOPJOHN · #3

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 28, 2021 11:01 pm
shape.pngΤα $ABCD,\,DEZH$ είναι τετράγωνα, με $Z \in BC$ και $K \equiv CD \cap ZH$

Αν και , να βρείτε το εμβαδόν του $\triangle DHK$

Εγινε αλλαγή στα γράμματα αλλα δεν αλλάζει κάτι στη λύση

Εστω $\large \hat{HKB}=\omega ,EZ=x,DZ=d$

Τα τετράπλευρα $\large HCZB,BEZC$ είναι εγγράψιμα άρα $\large \hat{BCE}=\hat{ECZ}=45^{0}$

Οπότε τα σημεία $\large A,E,C$ είναι συνευθειακά και $\large d=x$

δηλαδή το τρίγωνο $\large EDZ$ είναι ισόπλευρο και $\large \hat{HBC}=30^{0}$

Από την ομοιότητα των τριγώνων $\large BHK,KCZ,\frac{BH}{CZ}=\dfrac{HK}{KC} \Rightarrow x=\sqrt{3}-1,HK=\dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{3}, (BHK)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}(2-\sqrt{3})$

#4

: 2 τετράγωνα.β.png (15.75 KiB) Προβλήθηκε 1025 φορές

Το

είναι εγγράψιμο, άρα $\displaystyle E\widehat CZ = E\widehat DZ = 45^\circ,$ οπότε το

είναι σημείο της διαγωνίου

και κατά συνέπεια BE=ED.

Θέτω

και με Πυθαγόρειο στο DCZ

είναι:

$\displaystyle 2{x^2} = 1 + {(1 - x)^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0} x = \sqrt 3 - 1.$ Εύκολα τώρα, $\boxed{(DHK) = \frac{{2\sqrt 3 - 3}}{3}}$

nickchalkida · #5

Από το

με κλίση

(αριστερόστροφα), φέρω ευθεία η οποία τέμνει τήν μεσοκάθετο της

στο

.
Προφανώς DF=FZ

και με διάμετρο

κατασκευάζω το τετράγωνο DEZH

(πλευράς a).

Αν CZ=x

τότε $NF={x \over 2}$ , $DN = {1 \over 2}$ και $DF^2 = {x^2+1 \over 4}$ οπότε
$\displaystyle{ a^2 = 2DF^2 = {x^2+1 \over 2} \ \ \ (1) }$

Όμως BEFZ

χαρταετός, EZB

ισόπλευρο, έτσι
$\displaystyle{ a=1-x \rightarrow a^2 =(1-x)^2 \ \ \ (2) }$

Από $(1), (2) \rightarrow CZ=x=2-\sqrt{3} \rightarrow \widehat{ZDC}=15^o \rightarrow \widehat{KDH}=30^o$ (απο προηγούμενο πρόβλημα)
Τότε $a=\sqrt{3}-1$ και με Π.Θ. στο $DHK \rightarrow b = {2\over \sqrt{3}}(\sqrt{3}-1)$ , οπότε

$\displaystyle{ (DHK) = {1 \over 2}a{b \over 2} = {2 \over \sqrt{3}}-1 }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 28, 2021 11:01 pm
shape.pngΤα $ABCD,\,DEZH$ είναι τετράγωνα, με $Z \in BC$ και $K \equiv CD \cap ZH$

Αν και , να βρείτε το εμβαδόν του $\triangle DHK$

Η κάθετη στην

στο

τέμνει την παράλληλη από το

προς την

στο

Λόγω της προφανούς ισότητας των κόκκινων και πράσινων γωνιών κι επειδή DA=AB

τα τρίγωνα DAE,ABI

είναι ίσα,άρα IB=DE=EZ

κι επειδή

το

είναι παραλ/μμο άρα $\triangle EBI$

ισόπλευρο και κάθε πράσινη γωνία είναι 30^0

Με $HK=x \Rightarrow DH=DE=DI=x \sqrt{3} \Rightarrow AE^2= \dfrac{3x^2}{2}$

Με ν.συνημιτόνου τώρα στο τρίγωνο DAE

παίρνουμε $x= \dfrac{3- \sqrt{3} }{3}$ κι εύκολα τώρα $(DHK)= \dfrac{2 \sqrt{3}-3 }{3}$

: Δυο τετράγωνα.png (22.97 KiB) Προβλήθηκε 999 φορές

Δύο τετράγωνα

Δύο τετράγωνα

Re: Δύο τετράγωνα

Re: Δύο τετράγωνα

Re: Δύο τετράγωνα

Re: Δύο τετράγωνα

Re: Δύο τετράγωνα

Μέλη σε σύνδεση