Γεώγεβρα

KARKAR · #1

Α) Βρείτε τις ρίζες του πολυωνύμου : P(x)=x^6-27x^4-405x^2-729

: Γεώγεβρα.png (7.6 KiB) Προβλήθηκε 1064 φορές

Β) Στο άκρο

της διαμέτρου OS=6

ενός ημικυκλίου , υψώνουμε κάθετη , επί της οποίας κινείται

σημείο

, με

. Η εφαπτομένη του του ημικυκλίου από το

, τέμνει την προέκταση

της

στο σημείο

. Βρείτε την θέση του

για την οποία ελαχιστοποιείται το τμήμα

.

#2

Αφήνω το πρώτο ερώτημα και ασχολούμαι με το δεύτερο.
Ομολογώ ότι δεν βρήκα τέχνασμα που να δίνει απλή αλγεβρική ή γεωμετρική λύση. Αναγκαστικά κατέφυγα σε χρήση παραγώγου.
Επιφυλασσόμενος για τις πράξεις και το αποτέλεσμα:

: 24-04-2021 Γεωμετρία β.png (21.37 KiB) Προβλήθηκε 1018 φορές

Το

είναι το κέντρο του ημικυκλίου. Έστω A(t,0), t > 6

και

το σημείο επαφής,

οπότε $\displaystyle M{A^2} = A{K^2} - {3^2} \Leftrightarrow MA = \sqrt {{t^2} - 6t}$

Από την ομοιότητα των MAK, BOA

είναι

$\displaystyle \frac{{OA}}{{MA}} = \frac{{AB}}{{KA}} \Leftrightarrow \frac{t}{{\sqrt {{t^2} - 6t} }} = \frac{{AB}}{{t - 3}} \Leftrightarrow AB = \frac{{{t^2} - 3t}}{{\sqrt {{t^2} - 6t} }}$

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( t \right) = \frac{{{t^2} - 3t}}{{\sqrt {{t^2} - 6t} }},\;\;t \ge 6$ έχει παράγωγο

$\displaystyle f'\left( t \right) = \frac{{\left( {2t - 3} \right)\sqrt {{t^2} - 6t} - \left( {{t^2} - 3t} \right)\frac{{t - 3}}{{\sqrt {{t^2} - 6t} }}}}{{{t^2} - 6t}} = \frac{{t\left( {{t^2} - 9t + 9} \right)}}{{\left( {{t^2} - 6t} \right)\sqrt {{t^2} - 6t} }}$

Με τη μελέτη της παραγώγου, βρίσκουμε ότι έχει ελάχιστο για $\displaystyle t = \frac{{9 + 3\sqrt 5 }}{2}$

Τότε, επίσης από την ομοιότητα των MAK, BOA

είναι

$\displaystyle \frac{{OB}}{{KM}} = \frac{{OA}}{{MA}} \Leftrightarrow a = \frac{{3t}}{{\sqrt {{t^2} - 6t} }} = \frac{{9 + 3\sqrt 5 }}{{\sqrt {2 + 2\sqrt 5 } }}$

KARKAR · #3

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 25, 2021 12:43 am

$\dfrac{{9 + 3\sqrt 5 }}{{\sqrt {2 + 2\sqrt 5 } }}$

$... = \dfrac{{3(3 + \sqrt 5 )}}{{\sqrt {2 + 2\sqrt 5 } }}=3\sqrt {2 + \sqrt 5$ . Καλημέρα Γιώργο !

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 25, 2021 9:29 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 25, 2021 12:43 am

$\dfrac{{9 + 3\sqrt 5 }}{{\sqrt {2 + 2\sqrt 5 } }}$
$... = \dfrac{{3(3 + \sqrt 5 )}}{{\sqrt {2 + 2\sqrt 5 } }}=3\sqrt {2 + \sqrt 5$ . Καλημέρα Γιώργο !

Καλημέρα Θανάση.

Προσπαθώ να ενοχλώ (να ξεκουνώ από τη θέση τους) τις ρίζες όσο το δυνατό λιγότερο. Ευαισθησία, λόγω ονόματος.

#5

Το πρώτο και το δεύτερο ερώτημα έχουν σχέση , αρκεί η συνάρτηση που δίνει το μήκος

να εκφραστεί κατάλληλα .

Η απάντηση που συσχετίζει τα δύο ερωτήματα όταν τελειώσω την πληκτρολόγηση.

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 24, 2021 7:51 pm
Α) Βρείτε τις ρίζες του πολυωνύμου :

Γεώγεβρα.pngΒ) Στο άκρο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , υψώνουμε κάθετη , επί της οποίας κινείται

σημείο , με . Η εφαπτομένη του του ημικυκλίου από το , τέμνει την προέκταση

της στο σημείο . Βρείτε την θέση του για την οποία ελαχιστοποιείται το τμήμα .

Α) $\displaystyle {x^6} - 27{x^4} - 405{x^2} - 729 = 0 \Leftrightarrow ({x^2} + 9)({x^4} - 36{x^2} - 81) = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \pm 3\sqrt {2 + \sqrt 5 } }$

: Γεώγεβρα.png (9.56 KiB) Προβλήθηκε 976 φορές

B) $\displaystyle AB = a + AM = a + \sqrt {x(x + 6)}$ και με Π. Θ βρίσκω $\displaystyle x = \frac{{54}}{{{a^2} - 9}} \Rightarrow AB = f(a) = \frac{{a({a^2} + 9)}}{{{a^2} - 9}}$

$\displaystyle f'(a) = \frac{{{a^4} - 36{a^2} - 81}}{{{{({a^2} - 9)}^2}}}$ όπου από το (Α) ερώτημα βρίσκω για $\boxed{a = 3\sqrt {2 + \sqrt 5 } }$ ελάχιστη τιμή

$\boxed{A{B_{\min }} = \frac{3}{2}(\sqrt 5 + 1)\sqrt {2 + \sqrt 5 } }$

Όταν ξεκίνησα την πληκτρολόγηση δεν είχα δει την ανάρτηση του Νίκου. Μάλλον πρέπει να έχουμε την ίδια λύση.

#7

α) Θέτω ${x^2} = t$ κι έχω: $\left( {t + 9} \right)\left( {{t^2} - 36t - 81} \right) = 0$ που έχει μόνο μια θετική ρίζα , την : $t = 9\left( {2 + \sqrt 5 } \right)$
κι αν και το

είναι θετικός θα έχω μοναδική ρίζα , $\boxed{x = 3\sqrt {2 + \sqrt 5 } }$

β)

: Γεωγέβρα.png (12.54 KiB) Προβλήθηκε 972 φορές

Ας είναι

το κέντρο του ημικυκλίου και

το σημείο επαφής της

με το ημικύκλιο .

Θέτω $OB = OD = x > 3\,\,,\,\,DA = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SA = k$

Επειδή $\left\{ \begin{gathered} {u^2} = k\left( {k + 6} \right) \hfill \\ k = \frac{{3u}}{x} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} u = \frac{{18x}}{{{x^2} - 9}} \hfill \\ AB = f(x) = x\frac{{{x^2} + 9}}{{{x^2} - 9}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Η

έχει παράγωγο : $f'\left( x \right) = \dfrac{{{x^4} - 36{x^2} - 81}}{{{{\left( {{x^2} - 6} \right)}^2}}}$ και παρουσιάζει ελάχιστο

Για ${x_0} = 3\sqrt {2 + \sqrt 5 }$ το $\boxed{f({x_0}) = 3\sqrt {\frac{{11 + 5\sqrt 5 }}{2}} }$ .

Γεώγεβρα

Γεώγεβρα

Re: Γεώγεβρα

Re: Γεώγεβρα

Re: Γεώγεβρα

Re: Γεώγεβρα

Re: Γεώγεβρα

Re: Γεώγεβρα

Μέλη σε σύνδεση