Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

Npg4 · #1

Καλησπέρα, θα μπορούσατε να μου δώσετε καμία ιδέα έτσι ώστε να λύσω τη παρακάτω άσκηση;
$f(\frac{1}{x} + x)= x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$
Να βρεθεί ο τύπος της f.
Προσπάθησα να τη λύσω με τη γνωστή μεθοδο που θέτουμε αλλά έτσι δε βγαίνει επειδή προκύπτει τριωνυμο. Είμαι σίγουρος πως με κάποιο κόλπο θα βγαίνει αλλά δε μου έρχεται κάτι
Ευχαριστώ

tsaknakis · #2

θα σε βοηθησει η ταυτοτητα a^2+b^2=(a+b)^2-2ab

#3

Npg4 έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 24, 2021 2:38 pm
... αλλά έτσι δε βγαίνει επειδή προκύπτει τριωνυμο...

O σωστός και καλός τρόπος είναι αυτός που σημειώνει το αμέσως προηγούμενο ποστ. Όμως για να μην δίνουμε εσφαλμένη εικόνα, ας προσθέσω ότι βγαίνει και με τον τρόπο που προσπάθησες, παρόλο τον ισχυρισμό σου.

Κάνε μία προσπάθεια, αλλιώς με χαρά θα σου δώσουμε υπόδειξη ή και λύση, αν χρειαστεί.

Npg4 · #4

tsaknakis έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 24, 2021 2:41 pm
θα σε βοηθησει η ταυτοτητα

Ευχαριστώ πολύ! Πράγματι έτσι βγήκε πολυ εύκολα...δε το σκέφτηκα. Τελικά τον τύπο τον έβγαλα $f(x)=x^{2}-2$

Npg4 · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 24, 2021 2:53 pm

Npg4 έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 24, 2021 2:38 pm
... αλλά έτσι δε βγαίνει επειδή προκύπτει τριωνυμο...
O σωστός και καλός τρόπος είναι αυτός που σημειώνει το αμέσως προηγούμενο ποστ. Όμως για να μην δίνουμε εσφαλμένη εικόνα, ας προσθέσω ότι βγαίνει και με τον τρόπο που προσπάθησες, παρόλο τον ισχυρισμό σου.

Κάνε μία προσπάθεια, αλλιώς με χαρά θα σου δώσουμε υπόδειξη ή και λύση, αν χρειαστεί.

Θα ήθελα πολύ να μάθω και πως βγαίνει και με τον κλασσικό τρόπο! Μετά από πράξεις κατέληξα στο $x^{2}-yx+1=0$ και μετά έκανα διακρινουσα και εβγαλα $\Delta= y^{2}-4$

llenny · #6

$f(x + 1/x) = x^2 + 1/x^2 \Leftrightarrow f(x + 1/x) = x^2 + 2x \cdot 1/x + (1/x)^2 - 2 \Leftrightarrow f(x + 1/x) = (x + 1/x)^2 - 2$
Αν y = x + 1/x

τότε

, τελικά:

User#0000 · #7

$f(\frac{1}{x}+x)=x^2+\frac{1}{x^2}, x\in\mathbb{R^*}$

Θέτω $u=\frac{1}{x}+x$
$u^2=(\frac{1}{x}+x)^2=\frac{1}{x^2}+2x\cdot\frac{1}{x}+x^2=\frac{1}{x^2}+2+x^2\Leftrightarrow u^2-2=\frac{1}{x^2}+x^2$
Άρα:
f(u)=u^2-2

Τελικά:
$f(x)=x^2-2, x\in\mathbb{R^*}$

Λάθος μου με πρόλαβε:

4ptil έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 24, 2021 7:01 pm
Τελικά:
$f(x)=x^2-2, x\geqslant 2$

Το x τρέχει το $\mathbb{R}$ πλήν το 0
[/quote]

throwaway123 · #8

Τελικά:
$f(x)=x^2-2, x\geqslant 2$
[/quote]
Το x τρέχει το $\mathbb{R}$ πλήν το 0

#9

4ptil έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 24, 2021 7:01 pm
Τελικά:
$f(x)=x^2-2, x\geqslant 2$

Το x τρέχει το $\mathbb{R}$ πλήν το 0
[/quote]

Χμμμ. Το σωστό είναι $x\in (-\infty, -2]\cup [2, \infty )$ (βγαίνει από την διακρίνουσα, και υπάρχει στα παραπάνω).

Το ίδιο συνοπτικότερα: $|x| \ge 2$ .

Npg4 · #10

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 24, 2021 9:04 pm

4ptil έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 24, 2021 7:01 pm
Τελικά:
$f(x)=x^2-2, x\geqslant 2$
Το x τρέχει το $\mathbb{R}$ πλήν το 0

Χμμμ. Το σωστό είναι $x\in (-\infty, -2]\cup [2, \infty )$ (βγαίνει από την διακρίνουσα, και υπάρχει στα παραπάνω).

Το ίδιο συνοπτικότερα: $|x| \ge 2$ .
[/quote]

Υπάρχει περίπτωση το y να πάρει τέτοιες τιμές έτσι ώστε η διακρινουσα να βγει αρνητική ? Επειδή κατέληξα στο $x^{2}-yx+1=0$ αλλά δεν ήξερα πως να συνεχίσω..

kfd · #11

Για να έχει λύση ως προς χ πρέπει και αρκεί $\Delta \geq 0\Leftrightarrow y\geq 2 or \leq -2.$
Eπειδή το γινόμενο των ριζών είναι 1 οι ρίζες είναι αντίστροφοι άρα θεωρώ χ τη μία και 1/χ την άλλη.
Τότε $x=\frac{y+\sqrt{y^{2}-4}}{2}$ και $\frac{1}{x}=\frac{y-\sqrt{y^{2}-4}}{2}$ .
Eύκολα τότε $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=...=y^{2}-2.$

#12

kfd έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 24, 2021 10:05 pm
Για να έχει λύση ως προς χ πρέπει και αρκεί $\Delta \geq 0\Leftrightarrow y\geq 2 or \leq -2.$
Eπειδή το γινόμενο των ριζών είναι 1 οι ρίζες είναι αντίστροφοι άρα θεωρώ χ τη μία και 1/χ την άλλη.
Τότε $x=\frac{y+\sqrt{y^{2}-4}}{2}$ και $\frac{1}{x}=\frac{y-\sqrt{y^{2}-4}}{2}$ .
Eύκολα τότε $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=...=y^{2}-2.$

Σωστά. Αυτό ακριβώς εννοούσα όταν έγραφα

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 24, 2021 2:53 pm
... ας προσθέσω ότι βγαίνει και με τον τρόπο που προσπάθησες, παρόλο τον ισχυρισμό σου.

Κάνε μία προσπάθεια, αλλιώς με χαρά θα σου δώσουμε υπόδειξη ή και λύση, αν χρειαστεί.

αλλά περίμενα από τον αρχικό θεματοθέτη να βγάλει άκρη.

kkala · #13

Οι μαθητές που έχουν διδαχθεί τη λύση αντιστρόφων εξισώσεων 4ου βαθμού, γνωρίζουν ότι χρησιμοποιείται ο βοηθητικός άγνωστος y=x+1/x

για την λύση τους (προτάθηκε από Langrange, Άλγεβρα Σακελλαρίου), ακριβώς διότι y^2-2=x^2+1/x^2

. Εύκολα λοιπόν οδηγούμαστε στον προσδιορισμό της συνάρτησης f, πράγμα πιο δύσκολο εφόσον δε γνωρίζουμε το παραπάνω.

Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

Re: Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

Re: Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

Re: Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

Re: Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

Re: Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

Re: Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

Re: Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

Re: Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

Re: Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

Re: Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

Re: Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

Re: Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση