JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

#1

Παραθέτω τα προβλήματα του χθεσινού διαγωνισμού και εύχομαι καλή επιτυχία στα παιδιά που εκπροσωπούν την Ελλάδα και την Κύπρο! Καλή δύναμη στον αρχηγό, υπαρχηγό και observer των αποστολών μας για τη σημερινή μέρα της διόρθωσης!

Πρόβλημα 1

Έστω

( $n \geq 1$ ) ένας ακέραιος. Θεωρούμε την εξίσωση $\displaystyle{2 \cdot \bigg\lfloor \frac{1}{2x} \bigg\rfloor - n + 1 = (n+1)(1-nx),}$ όπου ο άγνωστος

είναι πραγματικός αριθμός.

(α) Να λύσετε την εξίσωση για n=8

.

(β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας ακέραιος

για τον οποίο η εξίσωση έχει τουλάχιστον 2021

λύσεις.

(Για κάθε πραγματικό αριθμό

συμβολίζουμε με $\lfloor y \rfloor$ τον μεγαλύτερο ακέραιο

έτσι ώστε $m\leq y$ .)

Πρόβλημα 2

Για κάθε σύνολο $A=\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\}$ που αποτελείται από πέντε διακεκριμένους θετικούς ακεραίους, συμβολίζουμε με S_A

το άθροισμα των στοιχείων του και με T_A

το πλήθος των τριάδων (i,j,k)

με $1\leqslant i<j<k\leqslant5$ για τις οποίες ο x_i+x_j+x_k

διαιρεί το S_A

.

Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του T_A

.

Πρόβλημα 3

Έστω ABC

ένα οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο με περίκεντρο

και

το ίχνος του ύψους από την κορυφή

στην πλευρά

. Οι ευθείες

και

τέμνονται στο σημείο

και έστω

η ευθεία που περνά από το σημείο

και είναι κάθετη στην ευθεία

. Η ευθεία

τέμνει τις

και

στα

και

, αντίστοιχα. Συμβολίζουμε με $\omega$ τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου AKL

. Η ευθεία

τέμνει ξανά τον $\omega$ στο σημείο

.

Να αποδείξετε ότι ο κύκλος $\omega$ και οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ABC

και

έχουν ένα κοινό σημείο.

Πρόβλημα 4

Έστω

ένα υποσύνολο του συνόλου των 2021

ακεραίων $\{1,2,3,\ldots,2021\}$ τέτοιο ώστε για οποιαδήποτε τρία στοιχεία (όχι αναγκαστικά διακεκριμένα)

,

του

έχουμε

.

Να βρείτε το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος στοιχείων του συνόλου

.

2nisic · #2

cretanman έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 02, 2021 10:52 am
Πρόβλημα 2

Για κάθε σύνολο $A=\{x_1,x_2,x_3,x_4,....,x_n\}$ που αποτελείται από διακεκριμένους θετικούς ακεραίους, συμβολίζουμε με το άθροισμα των στοιχείων του και με το πλήθος των $(i_1,i_2,...,i_{n-2})$ με $1\leqslant i_1<i_2<....<i_{n-2}\leqslant n$ για τις οποίες ο $x_{i_1}+x_{i_2}+x_{i_{n-2}}$ διαιρεί το .

Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του .

Για

και $A=\{1,2,3\}$ έχουμε T_A=3

.

Για

:
Έστω χωρίς βλάβη τής γενικότητας x_1<x_2<....<x_n

Θα αποδείξουμε πως δεν μπορεί να υπάρξει διαιρέτης τού S_A

και να περιέχει τόν x_n

εκτός και αν είναι ο $x_1+x_2+...+x_{n-3}+x_n$ .
Έστω ότι υπάρχει τότε:
$S_A-x_i-x_j|S_A\Rightarrow S_A-x_i-x_j|x_i+x_j\Rightarrow S_A-x_i-x_j\leq x_i+x_j$
Αφού $S_A-x_i-x_j\geq S_A-x_{n-1}-x_{n-3}$ θα πρέπει $S_A-x_{n-1}-x_{n-3}<x_i+x_j<x_{n-1}+x_{n-2}$ που δεν ισχύει.

Άρα $T_A\leq n$
Αν T_A=n

τοτε:
$x_n+x_{n-3}+x_{n-2}+...+x_1|x_{n-1}+x_{n-2}$ το οποίο δίνει $x_{n-1}+x_{n-2}>x_n$
$x_{n-1}+x_{n-2}+...+x_2|x_n+x_1$ το οποίο δίνει $x_{n-1}+x_{n-2}<x_n$ .

Άρα $T_A\leq (n-1)$
Για x_i=i

για κάθε

και $x_n=\prod_{i=1}^{n-1}[(\sum_{j=1}^{n-1}x_j)-xi]-\frac{n(n-1)}{2}$
Έχουμε T_A=n-1

#3

cretanman έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 02, 2021 10:52 am

Πρόβλημα 3

Έστω ένα οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο με περίκεντρο και το ίχνος του ύψους από την κορυφή στην πλευρά . Οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο και έστω η ευθεία που περνά από το σημείο και είναι κάθετη στην ευθεία . Η ευθεία τέμνει τις και στα και , αντίστοιχα. Συμβολίζουμε με $\omega$ τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου . Η ευθεία τέμνει ξανά τον $\omega$ στο σημείο .

Να αποδείξετε ότι ο κύκλος $\omega$ και οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και έχουν ένα κοινό σημείο.

Έστω

το σημείο τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του ABC

και του $(\omega)$ . Είναι $B\widehat{A}O=90^\circ-\widehat{C}=D\widehat{A}C,$ οπότε $B\widehat{A}D=E\widehat{A}C$ .

Eίναι $A\widehat{I}L=A\widehat{K}L=90^\circ -B\widehat{A}O=\widehat{C}$ , οπότε το E'LCI

είναι εγγράψιμο, όπου

είναι το σημείο τομής της

με την

. Ομοίως, $A\widehat{L}K=A\widehat{B}C=A\widehat{I}C$ , οπότε το E''LCI

είναι εγγράψιμο, όπου E''

είναι το σημείο τομής της

με την

. Αφού τα

,

είναι σημεία τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του $\triangle LCI$ με την

διαφορετικά από το

συμπίπτουν μεταξύ τους, και άρα με το

που είναι σημείο τομής της

και της

.

Επιπλέον, συμπεραίνουμε ότι το

ανήκει στην ευθεία AOE

.

Αρκεί να δείξουμε ότι $X\widehat{I}E=90^\circ$ . Πράγματι, έχουμε $\displaystyle K\widehat{L}X=K\widehat{A}X=B\widehat{A}D=E\widehat{A}C=L\widehat{A}I=L\widehat{X}I.$

Συνεπώς, KL//XI

και άρα $X\widehat{I}E=K\widehat{E}A=90^\circ$ , όπως θέλαμε.

#4

Το πρόβλημα 2 είναι πολύ παρόμοιο με αυτό: https://artofproblemsolving.com/communi ... 93p2363530

Οι χώρες που πρότειναν τα προβλήματα:
1. Βουλγαρία
2. Βοσνία
3. Βοσνία
4. Κύπρος

Για μια ακόμη φορά ο Δημήτρης έδωσε στον διαγωνισμό ένα πρωτότυπο και δύσκολο πρόβλημα.

Lymperis Karras · #5

achilleas έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 02, 2021 12:24 pm

cretanman έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 02, 2021 10:52 am

Πρόβλημα 3

Έστω ένα οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο με περίκεντρο και το ίχνος του ύψους από την κορυφή στην πλευρά . Οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο και έστω η ευθεία που περνά από το σημείο και είναι κάθετη στην ευθεία . Η ευθεία τέμνει τις και στα και , αντίστοιχα. Συμβολίζουμε με $\omega$ τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου . Η ευθεία τέμνει ξανά τον $\omega$ στο σημείο .

Να αποδείξετε ότι ο κύκλος $\omega$ και οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και έχουν ένα κοινό σημείο.

Έστω το σημείο τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του και του $(\omega)$ . Είναι $B\widehat{A}O=90^\circ-\widehat{C}=D\widehat{A}C,$ οπότε $B\widehat{A}D=E\widehat{A}C$ .

Eίναι $A\widehat{I}L=A\widehat{K}L=90^\circ -B\widehat{A}O=\widehat{C}$ , οπότε το είναι εγγράψιμο, όπου είναι το σημείο τομής της με την . Ομοίως, $A\widehat{L}K=A\widehat{B}C=A\widehat{I}C$ , οπότε το είναι εγγράψιμο, όπου είναι το σημείο τομής της με την . Αφού τα , είναι σημεία τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του $\triangle LCI$ με την διαφορεικά από το συμπίπτουν μεταξύ τους, και άρα με το που είναι σημείο τομής της και της .

Επιπλέον, συμπεραίνουμε ότι το ανήκει στην ευθεία .

Αρκεί να δείξουμε ότι $X\widehat{I}E=90^\circ$ . Πράγματι, έχουμε $\displaystyle K\widehat{L}X=K\widehat{A}X=B\widehat{A}D=E\widehat{A}C=L\widehat{A}I=L\widehat{X}I.$

Συνεπώς, και άρα $X\widehat{I}E=K\widehat{E}A=90^\circ$ , όπως θέλαμε.

Είχα ακριβώς την ίδια λύση κ. Αχιλλέα με προλάβατε

Εναλλακτικά θα μπορούσε κανείς να θεωρήσει το αντιδιαμετρικο του Α και να αποδείξει εγγραψιμοτητες καταλήγοντας στο ζητούμενο.

#6

cretanman έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 02, 2021 10:52 am

Πρόβλημα 3

Έστω ένα οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο με περίκεντρο και το ίχνος του ύψους από την κορυφή στην πλευρά . Οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο και έστω η ευθεία που περνά από το σημείο και είναι κάθετη στην ευθεία . Η ευθεία τέμνει τις και στα και , αντίστοιχα. Συμβολίζουμε με $\omega$ τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου . Η ευθεία τέμνει ξανά τον $\omega$ στο σημείο .

Να αποδείξετε ότι ο κύκλος $\omega$ και οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και έχουν ένα κοινό σημείο.

Η

επανατέμνει τον περίκυκλο του ABC

στο

Ως γνωστόν $\displaystyle B\widehat AD = T\widehat AC$

: JBMO 2021.png (25.06 KiB) Προβλήθηκε 3436 φορές

$\displaystyle A\widehat KL = A\widehat CB$ ως συμπληρωματικές των $\displaystyle K\widehat AE = C\widehat AD,$ οπότε το BLCK

είναι εγγράψιμο και

$\displaystyle KE \cdot EL = BE \cdot EC = AE \cdot ET.$ Δηλαδή ο $(\omega)$ διέρχεται από το

Εξάλλου, $LT = KX \Leftrightarrow XT||KL$ και $\displaystyle A\widehat TX = 90^\circ .$ Άρα και ο περιγεγραμμένος κύκλος του

DEX

διέρχεται από το

#7

Εξαιρετικά αποτελέσματα ειδικά για την Κύπρο μας. Δεν θυμάμαι να είχαμε ποτέ καλύτερη εμφάνιση!

Πήραμε ένα χρυσό με τον Αρά Μαχτεσιάν, δύο αργυρά με τους Φίλιππο-Άθω Χατζηχριστοφή (Filippos Athos) και Θεοφάνη Ορφανού και ένα χάλκινο με την Κυριακή Άσσου.

Η Ελλάδα είχε ένα αργυρό και τέσσερα χάλκινα! Δεν γνωρίζω όμως ποιοι πήραν τι.

Soteris · #8

Αρχικά, θέλω να δώσω συγχαρητήρια στις εθνικές ομάδες Κύπρου και Ελλάδας για τις επιτυχίες τους.

Ιδιαίτερα, θέλω να δώσω τα θερμά μου συγχαρητήρια στον Δημήτρη Καραντάνο, αρχηγό της ομάδας της Κύπρου, στον Θεόκλητο Παραγυίου, υπαρχηγό της ομάδας της Κύπρου, στον Δημήτρη Χριστοφίδη, του οποίου το πρόβλημα Ρ4 επιλέγηκε για τον διαγωνισμό και φυσικά στους μαθητές της ομάδας μας για αυτήν την ιστορική εμφάνιση.

Ιστορική, διότι για πρώτη φορά μαθητής της ομάδας μας εξασφαλίζει χρυσό μετάλλιο σε JBMO. Επιπλέον, η συγκομιδή των μεταλλίων, όπως έχει ήδη αναφέρει ο Δημήτρης Χριστοφίδης, είναι η καλύτερη που πετύχαμε ποτέ σε JBMO. Προσωπικά, όταν μια «τελεία στον παγκόσμιο χάρτη» πετυχαίνει κάτι τέτοιο, τότε δεν είναι τίποτα λιγότερο από ένα θαύμα.

Επιτρέψετε μου λίγο την «υπερβολή» απόψε, γιατί νοιώθω συγκινημένος με αυτήν την εμφάνιση. Είναι, για μας τους δασκάλους, το καλύτερο δώρο που μπορούν να μας κάνουν οι μαθητές μας και να μας «σπρώξουν» στο να συνεχίσουμε να προσφέρουμε.

Τέλος, πολλά συγχαρητήρια στο «τεχνικό τιμ» της Ελληνικής ομάδας, στους φίλτατους Σιλουανό Μραζιτίκο, Ευάγγελο Ζώτο και Αχιλλέα Συνεφακόπουλο. Πολλά συγχαρητήρια και στα παιδιά της ομάδας, που πέτυχαν να εξασφαλίσουν ένα αργυρό και τέσσερα χάλκινα μετάλλια. Και εις ανώτερα!!

#9

Θερμά συγχαρητήρια στις ομάδες της Ελλάδος και της Κύπρου!

Μπράβο Σωτήρη! Χαρήκαμε όλοι με το χρυσό του Αρά, τα δύο αργυρά και το χάλκινο!

Θερμά συγχαρητήρια Δημήτρη και για το Θέμα 4. Αποδείκτηκε σκληρό καρύδι, αφού το έλυσαν πλήρως μόνο 4 διαγωνιζόμενοι στους 128.

Όπως, έγραψε παραπάνω ο Δημήτρης, εμείς είχαμε 1 αργυρό με τον Διονύση Πετράκη (2nisic) και 4 χάλκινα, με τους Μάριο Ζαρογουλίδη, Γιάννη Γαλαμάτη, Κωνσταντίνο Γαλανόπουλο και Στάθη Εξάρχου.

Ευχόμαστε καλή συνέχεια στην ενασχόληση των μαθητών με τα μαθηματικά και ακόμα μεγαλύτερες επιτυχίες στο μέλλον!

Φιλικά,

Αχιλλέας

Τσιαλας Νικολαος · #10

Συγχαρητήρια και στις 2 ομάδες! Χαίρομαι ιδιαίτερα μιας και φέτος και οι 2 ομάδες κάνανε και κοινά μαθήματα!

#11

Συγχαρητήρια στις εθνικές ομάδες Ελλάδας και Κύπρου!

Σταύρος Σταυρόπουλος · #12

Θερμά συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά!!!!

#13

Συγχαρητήρια στα παιδιά, Κύπρου και Ελλάδας.

Τα θέματα είναι πολύ δύσκολα, οπότε έχουμε έναν παραπάνω λόγο να θαυμάσουμε την επίδοσή τους.

Εύγε.

#14

Πολλά πολλά συγχαρητήρια στους μαθητές μας της Ελλάδας και της Κύπρου για άλλη μία εξαιρετική επίδοση! Μάλιστα είναι διπλή η χαρά με το χρυσό μετάλλιο που πήρε η Κύπρος και καταλαβαίνω απόλυτα το Σωτήρη για την συγκίνηση, τη χαρά και τη δικαίωση των κόπων της ΚΥΜΕ όλα αυτά τα χρόνια!

Μπράβο σε όσους συνέβαλαν στην επίδοση των μαθητών μας και στους γονείς τους για την βοήθειά τους!

Αλέξανδρος

S.E.Louridas · #15

Συγχαρητήρια στους διαγωνιζόμενους των ομάδων Juniors Ελλάδας και Κύπρου! Μας κάνουν υπερήφανους και αποτελούν μία ηχηρή απάντηση στην πρόκληση της εποχής. Είμαι ιδιαίτερα χαρούμενος για την Κύπρο μας, τα Αδέλφια μας. Με την Κύπρο τυγχάνει να έχω συνεργαστεί επιστημονικά και έχω δει το πραγματικό υψηλό επίπεδο Οργάνωσης και Απόδοσης όσον αφορά το αγκάλιασμα των Μαθηματικών ταλέντων. Γνωρίζω καλά τους Άριστους Παράγοντες της Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρίας, όπως π.χ. τον πρόεδρο Dr Μακρίδη Γρηγόρη αλλά και τον Άριστο Θεόκλητο Παραγυίου, που με τιμούν με την πολύχρονη φιλία τους, αλλά υποκλίνομαι και στο νέο αίμα όπως τον Dr. Δημήτρη Χριστοφίδη, τον δικό μας εδώ Demetres, που το πρόβλημα που Δημιούργησε και στο οποίο εξετάστηκαν οι διαγωνιζόμενοι, είναι πρόβλημα υψηλής Μαθηματικής παιδείας που εκτός από γνώσεις προδίδει και αυτό που λέμε genius. Καλή συνέχεια σε όλους.

JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

Re: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

Re: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

Re: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

Re: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

Re: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

Re: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

Re: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

Re: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

Re: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

Re: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

Re: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

Re: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

Re: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

Re: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

Μέλη σε σύνδεση