Φωλιασμένα ριζικά

#1

Με αφορμή το θέμα εδώ ας δούμε ένα διαφορετικό παράδειγμα.

Δείξτε ότι

$\displaystyle{2 \sqrt {2\sqrt [3] {2\sqrt [4] {2 \sqrt [5] {2...}}} }= 2^{e-1}}$

Ας την αφ'ησουμε

ώρες για τους φοιτητές μας. Χάριν οικονομίας δεν χρειάζεται να κάνετε λεπτομερή απόδειξη και να διακαιολογήσετε κάθε βήμα (π.χ. της σύγκλισης) αλλά δώστε ένα πειστικό συλλογισμό για την αλήθεια της σχέσης.

sot arm · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 12, 2021 6:59 pm
Με αφορμή το θέμα εδώ ας δούμε ένα διαφορετικό παράδειγμα.

Δείξτε ότι

$\displaystyle{2 \sqrt {2\sqrt [3] {2\sqrt [4] {2 \sqrt [5] {2...}}} }= 2^{e-1}}$

Ας την αφ'ησουμε ώρες για τους φοιτητές μας. Χάριν οικονομίας δεν χρειάζεται να κάνετε λεπτομερή απόδειξη και να διακαιολογήσετε κάθε βήμα (π.χ. της σύγκλισης) αλλά δώστε ένα πειστικό συλλογισμό για την αλήθεια της σχέσης.

Μιας και μένει λίγος χρόνο που μπορώ να απαντήσω στο φάκελο, δίνω μία λύση. Παρατηρούμε ότι το αριστερά μέλος γράφεται:

$\displaystyle{2 \sqrt {2\sqrt [3] {2\sqrt [4] {2 \sqrt [5] {2...}}} } = 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{2\cdot 3 \cdot 4 }} \cdots = 2^{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} } = 2^{e - 1 }}$

Μιας και δεν μοιάζει με την λύση στην παραπομπή φαντάζομαι πως υπάρχει και κάποιος άλλος τρόπος.

#3

Το μόνο που λείπει (που άλλωστε είχα σημειώσει ότι μπορείτε να μην το γράψετε) είναι η σύγκλιση. Εδώ χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των δυνάμεων, όπως η (abc)^n=a^nb^nc^n

, για απειρογινόμενα. Κανονικά αυτό θέλει αιτιολόγιση, που ακριβώς την κάνουμε παίρνοντας όριο της πεπερασμένης περίπτωαης.

Φωλιασμένα ριζικά

Φωλιασμένα ριζικά

Re: Φωλιασμένα ριζικά

Re: Φωλιασμένα ριζικά

Μέλη σε σύνδεση