Τι να πει κανείς

KARKAR · #1

: Τι να πει κανείς.png (10.97 KiB) Προβλήθηκε 727 φορές

Στο σχήμα οι δύο κύκλοι είναι ίσοι και το

είναι το μέσο της διακέντρου . Το

διέρχεται από το

.

Δείξτε ότι : SM=MT

. Δώστε μια "κομψή" λύση σ' αυτό το θεματάκι

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 13, 2021 8:48 am
Τι να πει κανείς.pngΣτο σχήμα οι δύο κύκλοι είναι ίσοι και το είναι το μέσο της διακέντρου . Το διέρχεται από το .

Δείξτε ότι : . Δώστε μια "κομψή" λύση σ' αυτό το θεματάκι .

Η απάντηση είναι προφανής αφού το

είναι το εσωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των δύο ίσων κύκλων αλλά αφού ο Θανάσης θέλει «κομψή» λύση ίσως εννοεί την παρακάτω

: Τι να πει κανείς.png (7.8 KiB) Προβλήθηκε 707 φορές

Έστω

τα δεύτερα (εκτός των S,T

) σημεία τομής των δύο κύκλων και ON,KP

τα αποστήματα στις «δημιουργούμενες» χορδές S{S}',T{T}'

.
Προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle OMN,\vartriangle KMP$ είναι ίσα (υποτείνουσες και μια οξεία (κατακορυφήν) γωνία οπότε $MN=MP:\left( 1 \right)$ και $ON=KP\overset{{{R}_{O}}={{R}_{K}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,S{S}'=T{T}'\Rightarrow SN=TP:\left( 2 \right)$
Από $\left( 1 \right)-\left( 2 \right)\Rightarrow MS=MT$
Στην περίπτωση που $S\equiv {S}'$ τότε το $T\equiv {T}'$ αφού κάθε μια από τις κοινές εσωτερικές εφαπτόμενες των δύο κύκλων διέρχεται από το μέσο της διακέντρου (λόγω της ισότητας των κύκλων (προφανές από τα σχηματιζόμενα ορθογώνια τρίγωνα) και η ζητούμενη ισότητα είναι προφανής

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 13, 2021 8:48 am
Τι να πει κανείς.pngΣτο σχήμα οι δύο κύκλοι είναι ίσοι και το είναι το μέσο της διακέντρου . Το διέρχεται από το .

Δείξτε ότι : . Δώστε μια "κομψή" λύση σ' αυτό το θεματάκι .

: Τι να πεί κανείς.png (19.1 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Ας είναι

(όπως το

) το πιο κοντινό σημείο στο

που μια ευθεία , διερχομένη από το

, τέμνει τον κύκλο $\left( O \right)$

Οι κύκλοι $\left( {O,S,M} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {K,T,M} \right)\,$ είναι ίσοι γιατί έχουν: OS = KT

και τις κατακορυφήν στο

γωνίες ίσες.

Στους ίσους κύκλους αυτούς οι εγγεγραμμένες γωνίες $\widehat {{T_{}}} = \widehat {{S_{}}}$ γιατί MK = MO

,

αναγκαστικά θα είναι, $\widehat {{O_{}}} = \widehat {{K_{}}}$ οπότε : OS// = KT

και έτσι στο παραλληλόγραμμο OSKT

οι διαγώνιοι διχοτομούνται .

Ομοίως αν πάρω τα πιο μακρινά σημεία ενώ στην περίπτωση επαφής με ισότητα ορθογωνίων τριγώνων .

S.E.Louridas · #4

Ας δούμε και την εξης σκέψη:
Έστω MT>MS.

Τότε θεωρούμε σημείο

εσωτερικό του

άρα εξωτερικό του κύκλου (K,KT)

τέτοιο που MT'=MS.

Άμεσα έχουμε KT'=OS=KT

που είναι άτοπο, όμοια έχουμε άτοπο αν MS>MT.

Τελικά λοιπόν MT=MS.

Τι να πει κανείς

Τι να πει κανείς

Re: Τι να πει κανείς

Re: Τι να πει κανείς

Re: Τι να πει κανείς

Μέλη σε σύνδεση