Πόσα τρίγωνα

#1

Να βρείτε πόσα τρίγωνα υπάρχουν, των οποίων τα μέτρα των γωνιών τους είναι διψήφιοι ακέραιοι αριθμοί που έχουν ίδιο το ψηφίο των
μονάδων τους.
Στη συνέχεια να εξηγήσετε γιατί δεν είναι δυνατόν να υπάρχει τέτοιου είδους ορθογώνιο τρίγωνο, που να έχει όλα τα μέτρα των πλευρών του
ίσα με ρητούς αριθμούς.
(Να θεωρήσετε γνωστό ότι τα ημίτονα των γωνιών $\displaystyle{10^{0}}$ , $\displaystyle{20^{0}}$ , $\displaystyle{40^{0}}$ είναι άρρητοι αριθμοί)

thepigod762 · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 20, 2021 12:09 am
Να βρείτε πόσα τρίγωνα υπάρχουν, των οποίων τα μέτρα των γωνιών τους είναι διψήφιοι ακέραιοι αριθμοί που έχουν ίδιο το ψηφίο των
μονάδων τους.
Στη συνέχεια να εξηγήσετε γιατί δεν είναι δυνατόν να υπάρχει τέτοιου είδους ορθογώνιο τρίγωνο, που να έχει όλα τα μέτρα των πλευρών του
ίσα με ρητούς αριθμούς.
(Να θεωρήσετε γνωστό ότι τα ημίτονα των γωνιών $\displaystyle{10^{0}}$ , $\displaystyle{20^{0}}$ , $\displaystyle{40^{0}}$ είναι άρρητοι αριθμοί)

Έστω $\bar{ab},\bar{cb},\bar{db}$ οι αριθμοί αυτοί.
Είναι
$\bar{ab}+\bar{cb}+\bar{db}=180^{\circ}\Leftrightarrow 10(a+c+d)+3b=180^{\circ}$
και οι λύσεις θα είναι ακέραιες ανν 3|a+c+d

Άρα,

(καθώς

μονοψήφιος)

Θεωρούμε κάθε μία διατεταγμένη τριάδα για τους a,c,d

ως μία περίπτωση τριγώνου που ικανοποιεί την συνθήκη, που αυτές είναι:
(1,8,9),(2,7,9),(2,8,8),(3,6,9),(3,7,8),(4,5,9),(4,6,8),(4,7,7),(5,5,8),(5,6,7),(6,6,6)

και υπάρχουν

τέτοια τρίγωνα.

Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, για μέτρα γωνιών, έστω $\bar{x0},\bar{y0}$ , παίρνουμε:
$\bar{x0}+\bar{y0}=90\Leftrightarrow x+y=9^{\circ}$ , άρα τα ζεύγη αυτών, χωρίς βλάβη για x> y

, είναι τα:
(x,y)=(8,1)(7,2),(6,3),(5,4)

και, επομενως, για τις γωνίες τα:
(80,10),(70,20),(60,30),(50,40)

Για το ζεύγος (60,30)

θα έχουμε $sin\angle \bar{x0}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ και επειδή η διαίρεση δύο ρητών δεν μας δίνει άρρητο, έπεται ότι τα μέτρα των πλευρών δεν είναι ρητοί αριθμοί.

Για τα άλλα ζεύγη, γνωρίζοντας ότι τα ημίτονα είναι άρρητοι, καταλήγουμε, ομοίως, στο ίδιο συμπέρασμα.

#3

Μια ακόμα αντιμετώπιση του πρώτου ερωτήματος:

Αν οι γωνίες του τριγώνου έχουν ψηφίο μονάδων $\displaystyle{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}$ , τότε το άθροισμα των γωνιών του θα λήγει

σε $\displaystyle{3 , 6 , 9 , 2 , 5 , 8 , 1 , 4 , 7}$ αντιστοίχως, Τούτο όμως είναι άτοπο, αφού το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου ισούται

με $\displaystyle{180^0}$ . Άρα το ψηφίο των μονάδων όλων των γωνιών θα πρέπει να είναι μηδέν.

Συνεπώς έχουμε τις εξής περιπτώσεις για τις γωνίες:

$\displaystyle{(90,80,10), (90,70,20), (90,60,30) , (90,50,40), (80,80,20), (80,70,30), (80,60,40), (80,50,50), (70,70,40),}$

$\displaystyle{ (70, 60,50), (60,60,60)}$ .

Άρα υπάρχουν $\displaystyle{11}$ περιπτώσεις για τις γωνίες τριγώνου που είναι διψήφιοι ακέραιοι και έχουν ίδιο το ψηφίο των μονάδων

Ενώ υπάρχουν βέβαια άπειρα τρίγωνα για την κάθε περίπτωση, που είναι όλα όμοια μεταξύ τους.

(Από τα τρίγωνα αυτά, οι $\displaystyle{4}$ ομάδες των άπειρων τριγώνων είναι ορθογώνια και σκαληνά, οι $\displaystyle{3}$ ομάδες είναι οξυγώνια και ισοσκελή ,

οι $\displaystyle{3}$ ομάδες είναι οξυγώνια και σκαληνά και $\displaystyle{1}$ ομάδα είναι ισόπλευρα)

Πόσα τρίγωνα

Πόσα τρίγωνα

Re: Πόσα τρίγωνα

Re: Πόσα τρίγωνα

Μέλη σε σύνδεση