Μέγιστο μήκος

#1

Πάνω σε μια ευθεία $\displaystyle{E}$ , παίρνουμε κατά σειρά τα σημεία $\displaystyle{A , B , C}$ και έστω $\displaystyle{x , y}$ τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων $\displaystyle{AB}$ και

$\displaystyle{BC}$ αντιστοίχως , όπου οι αριθμοί $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ είναι φυσικοί. Ονομάζουμε $\displaystyle{M}$ το μέσον του $\displaystyle{AB}$ και πάνω στο ευθύγραμμο

τμήμα $\displaystyle{BC}$ παίρνουμε το σημείο $\displaystyle{N}$ έτσι ώστε να είναι $\displaystyle{BN = 2.NC}$ . Αν γνωρίζουμε ότι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος $\displaystyle{MN}$

είναι φυσικός αριθμός και αν επί πλέον ισχύει ότι $\displaystyle{2x + 3y = 186}$ , να βρείτετις τιμές των $\displaystyle{x , y}$ , ώστε το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{MN}$ να

έχει το μεγαλύτερο δυνατό μήκος.

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 20, 2021 5:55 pm
Πάνω σε μια ευθεία $\displaystyle{E}$ , παίρνουμε κατά σειρά τα σημεία $\displaystyle{A , B , C}$ και έστω $\displaystyle{x , y}$ τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων $\displaystyle{AB}$ και

$\displaystyle{BC}$ αντιστοίχως , όπου οι αριθμοί $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ είναι φυσικοί. Ονομάζουμε $\displaystyle{M}$ το μέσον του $\displaystyle{AB}$ και πάνω στο ευθύγραμμο

τμήμα $\displaystyle{BC}$ παίρνουμε το σημείο $\displaystyle{N}$ έτσι ώστε να είναι $\displaystyle{BN = 2.NC}$ . Αν γνωρίζουμε ότι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος $\displaystyle{MN}$

είναι φυσικός αριθμός και αν επί πλέον ισχύει ότι $\displaystyle{2x + 3y = 186}$ , να βρείτετις τιμές των $\displaystyle{x , y}$ , ώστε το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{MN}$ να

έχει το μεγαλύτερο δυνατό μήκος.

Είναι $MB = \dfrac {AB}{2} = \dfrac {x}{2}$ και $BN = \dfrac {2}{3}BC = \dfrac {2y}{3}$ . Άρα για κάποιον φυσικό

είναι $\dfrac {x}{2} + \dfrac {2y}{3} = MB+BN= MN =m$ . Λύνοντας το σύστημα της τελευταίας με την υπόθεση 2x + 3y = 186

θα βρούμε $x=18m-744,\, y= 558-12m$ .

Τα τελευταία είναι ακέραιοι αλλά αν τους θέλουμε θετικούς φυσικούς πρέπει ακόμη $18m-744 \ge 1,\, 558-12m \ge 1$ από όπου $m \ge 42$ και $m\le 46$ , αντίστοιχα.

Άρα το μεγαλύτερο δυνατό μήκος του MN=m

είναι

. Τα αντίστοιχα $x,\, y$ είναι $x=18m-744=84 ,\, y= 558-12m=6$ . Επαλήθευση: $\dfrac {84}{2} + \dfrac {2\cdot 6}{3} =46$ .

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 20, 2021 5:55 pm
Πάνω σε μια ευθεία $\displaystyle{E}$ , παίρνουμε κατά σειρά τα σημεία $\displaystyle{A , B , C}$ και έστω $\displaystyle{x , y}$ τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων $\displaystyle{AB}$ και

$\displaystyle{BC}$ αντιστοίχως , όπου οι αριθμοί $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ είναι φυσικοί. Ονομάζουμε $\displaystyle{M}$ το μέσον του $\displaystyle{AB}$ και πάνω στο ευθύγραμμο

τμήμα $\displaystyle{BC}$ παίρνουμε το σημείο $\displaystyle{N}$ έτσι ώστε να είναι $\displaystyle{BN = 2.NC}$ . Αν γνωρίζουμε ότι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος $\displaystyle{MN}$

είναι φυσικός αριθμός και αν επί πλέον ισχύει ότι $\displaystyle{2x + 3y = 186}$ , να βρείτετις τιμές των $\displaystyle{x , y}$ , ώστε το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{MN}$ να

έχει το μεγαλύτερο δυνατό μήκος.

Επιλέγω,

με

το μέσο του $BC = y\,\,$ , θα είναι : $BE = 3k\,\,,\,\,EN = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NC = 2k$ .

Θέτω και $AM = MB = m\,\,,\,$ με

φυσικός αριθμός

Θα ισχύει : $2x + 3y = 168 \Rightarrow 2 \cdot 2m + 18k = 186 \Rightarrow 2m + 9k = 93$ $\left( 1 \right)$ .

Ακόμα : $x = 2m\,,\,y = 6k\,\,,\,\,m + 4k\,\,\,\,\left( 3 \right)$ φυσικοί , έτσι από την $\left( 1 \right)$ έχω ότι ο

$\left( {2(m + 4k) + k} \right)$ είναι φυσικός, οπότε αναγκαστικά και οι k,m

, είναι φυσικοί.
.

: Μέγιστο μήκος_Ιωάννου.png (4.98 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

.
Από την $\left( 1 \right)$ έχω ταυτόχρονα: $9k = 93 - 2m \geqslant 0 \Rightarrow m \leqslant 46$ και 93 - 2m

πολλαπλάσιο του

δηλαδή το άθροισμα των ψηφίων του να είναι πολλαπλάσιο του

.

Η πιο μεγάλη τιμή του u = m + 4k

είναι για

.

Τότε: από την $\left( 1 \right)$ προκύπτει: $\boxed{x = 2m = 84}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,9k = 9$ , άρα : $\boxed{y = 6k = 6}$

Είχα ασχοληθεί διαβάζοντας απρόσεκτα λάθος την εκφώνηση . Η πιο πάνω λύση υστερεί της λύσης του Κ. Λάμπρου.

Μέγιστο μήκος

Μέγιστο μήκος

Re: Μέγιστο μήκος

Re: Μέγιστο μήκος

Μέλη σε σύνδεση