Χωρισμός ορθογωνίου

#1

Ένα ορθογώνιο το χωρίσαμε με κάποιον τρόπο σε

τετράγωνα (όχι κατ ανάγκη ίσα μεταξύ τους). Αν ο αριθμός που εκφράζει την περίμετρο

του ορθογωνίου είναι ο ίδιος με αυτόν που εκφράζει το εμβαδόν του και αν επί πλέον ο αριθμός αυτός είναι μεγαλύτερος από

και μικρότερος από

, να βρείτε:

(α) Την περίμετρο του ορθογωνίου

(β) Τον τρόπο με τον οποίο χωρίσαμε το ορθογώνιο.

#2

Καλησπέρα σε όλους και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ με Υγεία!

Δημήτρη, αν αλλάξουμε λίγο τα ασφυκτικά πλαίσια 17-19

, βρίσκω κάποιες λύσεις.

Αν τα

τετράγωνα είναι ίσα, με πλευρά

, τότε το ορθογώνιο έχει διαστάσεις είτε

και

, είτε είναι τετράγωνο πλευράς

.

Στην 1η περίπτωση είναι $\displaystyle 10x = 4{x^2} \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$ , άτοπο, αφού έχει εμβαδόν

.

Στη 2η περίπτωση είναι $\displaystyle 8x = 4{x^2} \Leftrightarrow x = 2$ , επίσης άτοπο, αφού έχει εμβαδόν

.

Αν είναι τρία ίσα μεταξύ τους, με πλευρά

, το 4ο θα έχει πλευρά

, oπότε το ορθογώνιο έχει διαστάσεις

και

.

: 25-12-2021 Τετράγωνο 2.jpg (15.67 KiB) Προβλήθηκε 886 φορές

Οπότε $\displaystyle 14x = 12{x^2} \Leftrightarrow x = \frac{7}{6}$ , άτοπο, αφού έχει εμβαδόν $\displaystyle \frac{{49}}{3} = 16,\bar 3$ .

Αν είναι δύο ίσα μεταξύ τους με πλευρά

, τότε σε μια περίπτωση τα άλλα δύο έχουν πλευρά

,

: 25-12-2021 Τετράγωνο 1.jpg (24.78 KiB) Προβλήθηκε 886 φορές

οπότε $\displaystyle 14x = 10{x^2} \Leftrightarrow x = \frac{7}{5}$ , άτοπο, αφού έχει εμβαδόν $\displaystyle \frac{{98}}{5} = 19,6$ .

Σε άλλη περίπτωση, αν είναι δύο ίσα μεταξύ τους με πλευρά

τo 3ο έχει πλευρά

και το 4ο έχει πλευρά

,

: 25-12-2021 Τετράγωνο 3.jpg (20.65 KiB) Προβλήθηκε 844 φορές

οπότε $\displaystyle 16x = 15{x^2} \Leftrightarrow x = \frac{{16}}{{15}}$ , που έχει εμβαδόν $\displaystyle \frac{{256}}{15}= 17,0666...$ .

Αν τα τετράγωνα ήταν όλα άνισα μεταξύ τους, δεν θα μπορούσε να σχηματιστεί ορθογώνιο.

edit: Συμπλήρωσα μια περίπτωση που είχα ξεχάσει, αφού είδα την αναλυτική περιγραφή του Γιώργου στην επόμενη ανάρτηση και διόρθωσα στην τελευταία περίπτωση το αποτέλεσμα με την υπόδειξη του Δημήτρη.

thepigod762 · #3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 25, 2021 10:53 am
Ένα ορθογώνιο το χωρίσαμε με κάποιον τρόπο σε τετράγωνα (όχι κατ ανάγκη ίσα μεταξύ τους). Αν ο αριθμός που εκφράζει την περίμετρο

του ορθογωνίου είναι ο ίδιος με αυτόν που εκφράζει το εμβαδόν του και αν επί πλέον ο αριθμός αυτός είναι μεγαλύτερος από

και μικρότερος από , να βρείτε:

(α) Την περίμετρο του ορθογωνίου

(β) Τον τρόπο με τον οποίο χωρίσαμε το ορθογώνιο.

Μια ανάλυση όλων των πιθανών σχηματισμών τετραγώνων με αφορμή το ποστ. Υποθέτω πως είναι μια απόδειξη για το γεγονός ότι είναι αδύνατος ο σχηματισμός με άνισα τετράγωνα. Για την λύση του προβλήματος βρίσκουμε από τα τετράγωνα σχέσεις μεταξύ των πλευρών του ορθογωνίου και συνεχίζουμε όπως ο κ. Ρίζος.

Προφανώς, για τον σχηματισμό των τετραγώνων, φέρουμε μόνο παράλληλες σε μία εκ των πλευρών του ορθογωνιού. Πράγματι, επειδή το σχήμα αποτελείται μόνο από τετράγωνα, οι πλευρές τους θα είναι μόνο παράλληλες και κάθετες μεταξύ τους, ώστε ανάμεσα σε αυτά να σχηματίζονται πάλι τετράγωνα. Έτσι, επειδή θα υπάρχει μία παράλληλη σε μία απο τις πλευρές του ορθογωνίου (πλευρά ακριανού τετραγώνου), όλες θα είναι παράλληλες σε αυτήν ή κάθετες (παράλληλες στην άλλη πλευρά).

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

1) Να βρίσκεται σε μία από τις μικρές πλευρές του ορθογωνίου μία μόνο πλευρά τετραγώνου. Τότε, μας μένει να χωρίσουμε σε τρία τετράγωνα το ορθογώνιο που περισσεύει. Ονομάζουμε

την πλευρά του ορθογωνίου στην οποία βρίσκεται η μία πλευρά του τετραγώνου και

την άλλη. Παίρνουμε τις περιπτώσεις:

a) Να είναι η a-b

(πλευρά του ορθογωνίου που περισσεύει) η μικρή πλευρά του ορθογωνίου. Τότε, αχολούμαστε όπως πάνω με αυτή.
Αν βρίσκεται σε αυτήν μία πλευρά τετραγώνου, αρκεί να χωρίσουμε το ορθογώνιο που περισσεύει σε δύο τετράγωνα, που γίνεται με δύο τρόπους:
Πρώτος (η κοινή πλευρά τους κάθετη στην

):

: α υποπεριπτωση.PNG (17.3 KiB) Προβλήθηκε 877 φορές

Δεύτερος (η κοινή πλευρά τους κάθετη στην

):

: α υποπερίπτωση '.PNG (29.08 KiB) Προβλήθηκε 877 φορές

Αν βρίσκονται σε αυτήν δύο πλευρές τετραγώνων, τότε αυτές πρέπει να είναι ίσες, καθώς αν δεν είναι, το σχήμα που περισσεύει δεν είναι κυρτό, άρα ούτε τετράγωνο. Έτσι, η περίπτωση αυτή είναι ίδια με τον πρώτο τρόπο πάνω.

b) Να είναι η a-b

η μεγάλη πλευρά του ορθογωνίου. Τότε, όπως και στην α καταλήγουμε στις περιπτώσεις:
Αν βρίσκεται μία πλευρά τετραγώνου στην, ας πούμε, δεξιά μικρή πλευρά

:
Πρώτος τρόπος (προεκτάσεις των κοινών πλευρών των μικρών τετραγώνων κάθετες στην

):

: β υποπερίπτωση ''.PNG (35.7 KiB) Προβλήθηκε 877 φορές

Δεύτερος τρόπος (κοινές πλευρές των τετραγώνων κάθετες στην

):

: β υποπερίπτωση.PNG (33.3 KiB) Προβλήθηκε 877 φορές

Αν βρίσκονται δύο, όπως και πριν ίσες, πλευρές τετραγώνων:

: β υποπερίπτωση '.PNG (36.49 KiB) Προβλήθηκε 877 φορές

2) Σε όλες τις πλευρές να βρίσκονται δύο πλευρές τετραγώνων. Τότε, αποδεικνύεται (το αφήνω) ότι αυτές πρέπει να είναι ίσες:

thepigod762 · #4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 25, 2021 10:53 am
Ένα ορθογώνιο το χωρίσαμε με κάποιον τρόπο σε τετράγωνα (όχι κατ ανάγκη ίσα μεταξύ τους). Αν ο αριθμός που εκφράζει την περίμετρο

του ορθογωνίου είναι ο ίδιος με αυτόν που εκφράζει το εμβαδόν του και αν επί πλέον ο αριθμός αυτός είναι μεγαλύτερος από

και μικρότερος από , να βρείτε:

(α) Την περίμετρο του ορθογωνίου

(β) Τον τρόπο με τον οποίο χωρίσαμε το ορθογώνιο.

(σχήμα για περίπτωση 2 επειδή δεν χωράει)

: 2).PNG (22.84 KiB) Προβλήθηκε 875 φορές

#5

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 25, 2021 5:32 pm
Καλησπέρα σε όλους και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ με Υγεία!

Δημήτρη, αν αλλάξουμε λίγο τα ασφυκτικά πλαίσια , βρίσκω κάποιες λύσεις.

Αν τα τετράγωνα είναι ίσα, με πλευρά , τότε το ορθογώνιο έχει διαστάσεις είτε και , είτε είναι τετράγωνο πλευράς .

Στην 1η περίπτωση είναι $\displaystyle 10x = 4{x^2} \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$ , άτοπο, αφού έχει εμβαδόν .

Στη 2η περίπτωση είναι $\displaystyle 8x = 4{x^2} \Leftrightarrow x = 2$ , επίσης άτοπο, αφού έχει εμβαδόν .

Αν είναι τρία ίσα μεταξύ τους, με πλευρά , το 4ο θα έχει πλευρά , oπότε το ορθογώνιο έχει διαστάσεις και .

25-12-2021 Τετράγωνο 2.jpg

Οπότε $\displaystyle 14x = 12{x^2} \Leftrightarrow x = \frac{7}{6}$ , άτοπο, αφού έχει εμβαδόν $\displaystyle \frac{{49}}{3} = 16,\bar 3$ .

Αν είναι δύο ίσα μεταξύ τους με πλευρά , τότε είτε τα άλλα δύο έχουν πλευρά ,

25-12-2021 Τετράγωνο 1.jpg

οπότε $\displaystyle 14x = 10{x^2} \Leftrightarrow x = \frac{7}{5}$ , άτοπο, αφού έχει εμβαδόν $\displaystyle \frac{{98}}{5} = 19,6$ .

είτε τo ένα έχει πλευρά και το 4ο έχει πλευρά ,

25-12-2021 Τετράγωνο 3.jpg

οπότε $\displaystyle 16x = 15{x^2} \Leftrightarrow x = \frac{{16}}{{15}}$ , άτοπο, αφού έχει εμβαδόν .

Αν τα τετράγωνα ήταν όλα άνισα μεταξύ τους, δεν θα μπορούσε να σχηματιστεί ορθογώνιο.

edit: Συμπλήρωσα μια περίπτωση που είχα ξεχάσει, αφού είδα την αναλυτική περιγραφή του Γιώργου στην επόμενη ανάρτηση. Και πάλι, όμως, τα αποτελέσματά μου είναι εκτός των ορίων της εκφώνησης.

Καλές γιορτές Γιώργο.

Το πρώτο από τα πέντε σχήματα που έχει ο thepigod762, είναι αυτό που ζητάμε. Βγάζει περίμετρο $\displaystyle{\frac{256}{15} = 17,...}$

Χωρισμός ορθογωνίου

Χωρισμός ορθογωνίου

Re: Χωρισμός ορθογωνίου

Re: Χωρισμός ορθογωνίου

Re: Χωρισμός ορθογωνίου

Re: Χωρισμός ορθογωνίου

Μέλη σε σύνδεση