Απλή τριγωνομετρική

#1

Α) Να δείξετε ότι $\displaystyle x\sin x + \cos x \ge 1,$ για κάθε $\displaystyle x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]$

Β) Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{\cos x - 1}}{x},0 < x \le \dfrac{\pi }{2}\\ \\ 0,x = 0 \end{array} \right.$

I) Να δείξετε ότι η

είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο x_0=0.

ΙΙ) Να δείξετε ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left[ {0,\dfrac{\pi }{2}} \right]$ και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Γιώργο, μου θύμισε το τέταρτο θέμα από τις επαναληπτικές του 2020 με το Παλαιό Σύστημα.
viewtopic.php?f=133&t=67861&p=340686#p340686
Στο θέμα αυτό η συνέχεια της

στο

είναι δεδομένη, εσύ το ζητάς...

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 06, 2022 7:41 pm
Γιώργο, μου θύμισε το τέταρτο θέμα από τις επαναληπτικές του 2020 με το Παλαιό Σύστημα.

viewtopic.php?f=133&t=67861&p=340686#p340686

Τηλέμαχε, δυστυχώς δεν βλέπουμε συχνά τριγωνομετρικές συναρτήσεις στις Εξετάσεις. Τον κύριο λόγο
έχουν οι εκθετικές και οι λογαριθμικές, αφού η ύλη της τριγωνομετρίας έχει συρρικνωθεί αρκετά.
Να συμπληρώσω ότι την παρούσα άσκηση την έχω, όπως είναι, στις σημειώσεις μου από το 1998.

#4

Γεια σου Γιώργο και καλή χρονιά

α) Έστω $\displaystyle g(x) = x\sin x + \cos x$ με $\displaystyle x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]$
Τότε $\displaystyle {g}'(x)=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x>0$ με $\displaystyle x\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)$
Άρα η $\displaystyle g$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]$
Άρα για $\displaystyle x\ge 0\Rightarrow g(x)\ge g(0)\Rightarrow g(x)\ge 1$
β)
i) $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x-1}{x}=0$ και $\displaystyle f(0)=0$ , άρα είναι συνεχής στο $\displaystyle 0$
Επίσης :
$\displaystyle \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\cos x - 1}}{x} - 0}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - 1}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\cos x - 1} \right)\left( {\cos x + 1} \right)}}{{{x^2}\left( {\cos x + 1} \right)}} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{{x^2}\left( {\cos x + 1} \right)}} = \\ \\ =- \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}\left( {\cos x + 1} \right)}} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right)^2}\frac{1}{{\left( {\cos x + 1} \right)}} = - 1 \cdot \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \in R \end{array}$
Άρα είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle 0$
ii) Για $\displaystyle x\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)$ είναι : $\displaystyle {f}'(x)={{\left( \frac{\cos x-1}{x} \right)}^{\prime }}=\frac{-x\sin x-\cos x}{{{x}^{2}}}=-\frac{g(x)}{{{x}^{2}}}<0$
Άρα αφού η $\displaystyle f$ είναι συνεχής στο $\displaystyle 0$ , θα είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]$ και το σύνολο τιμών είναι το $\displaystyle f\left( \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right] \right)=\left[ f\left( \frac{\pi }{2} \right),f(0) \right]=\left[ -\frac{2}{\pi },0 \right]$

Σταμ. Γλάρος · #5

Καλησπέρα σε όλους. Καλή χρονιά, με υγεία!
Μια μικρή παραλλαγή για το όριο στη λύση του Γιώργη.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\frac{{\cos x - 1}}{x} - 0}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1-2sin^2\left ( \frac{x}{2} \right ) - 1}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (-\dfrac{1}{2}\cdot \left (\dfrac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right )^{2} \right ) =-\dfrac{1}{2}$ .

Χρόνια Πολλά !
Σταμ. Γλάρος

Απλή τριγωνομετρική

Απλή τριγωνομετρική

Re: Απλή τριγωνομετρική

Re: Απλή τριγωνομετρική

Re: Απλή τριγωνομετρική

Re: Απλή τριγωνομετρική

Μέλη σε σύνδεση