ΕΚΠ και ΜΚΔ

#1

Οι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{a , b , c}$ έχουν άθροισμα $\displaystyle{175}$ , γινόμενο τέλειο κύβο ,ΕΚΠ το $\displaystyle{252}$ και ΜΚΔ το $\displaystyle{7}$ .
Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί.

fmak65 · #2

αφού έχουν Μ.Κ.Δ. το 7 άρα είναι πολλαπλάσια του 7 , οπότε οι αριθμοί είναι της μορφής a=7*x, b=7*y, c=7*z

και οι αριθμοί x, y, z

θα πρέπει να είναι πρώτοι μεταξύ τους και να έχουν ΕΚΠ to

(

, και να έχουν άθροισμα

. $(a+b+c=175\Leftrightarrow 7*x+7*y+7*z=175\Leftrightarrow 7*(x+y+z)\Leftrightarrow x+y+z=175/7\Leftrightarrow x+y+z=25)$
Αφού έχουν ελάχιστο πολλαπλάσιο το 36 θα πρέπει να είναι διαιρέτες του 36, που είναι οι αριθμοί 1,2,3,4,6,9,12,18,36

.
Επειδή θα πρέπει να είναι τέλειος κύβος, θα πρέπει οι αριθμοί x, y, z να περιέχουν από 3 φορές κάθε πρώτο αριθμό που περιέχουν.
Οι τριάδες που έχουν άθροισμα 25 είναι οι παρακάτω:
18, 6, 1 απορρίπτεται γιατί έχει ΕΚΠ το 18.
18, 4, 3 δεκτή, άρα οι αρχικοί αριθμοί είναι οι 126, 28, 21 (ΕΚΠ 252 (126*2, 28*9, 21*12), ΜΚΔ το 7 και γινόμενο
$126*28*21=(2*3*3*7)*(2*2*7)*(3*7)=2*3*3*7*2*2*7*3*7=(2*3*7)^{3}=42^{3}.$
12, 9, 4 απορρίπτεται γιατί έχουν γινόμενο $(12*7)*(9*7)*(4*7)=(2*3*7)^{3}*2$ που δεν είναι τέλειος κύβος.
12, 12, 1 απορρίπτεται γιατί έχει ΕΚΠ το 12.

ΕΚΠ και ΜΚΔ

ΕΚΠ και ΜΚΔ

Re: ΕΚΠ και ΜΚΔ

Μέλη σε σύνδεση