Μια βοήθεια

konkyr · #1

Καλημέρα.Θα ήθελα μια βοήθεια στο παρακάτω αν είναι ευκολο

$\lim_{x->-\infty}\int_{0}^{e^{x}}{xln(1+t^{2})dt}$

#2

$\displaystyle{0<-I=\int_{0}^{e^x}{(-x)ln(1+t^2)dt}<(-x)\int_{0}^{e^x}{t^2dt}=(-x)\frac{e^{3x}}{3}=\frac{-x}{3e^{-3x}}\to 0}$ όταν $\displaystyle{x\to -\infty}$ με DLH
συνεπώς $\displaystyle{I\to 0}$

APO · #3

αν δεν έχω λάθος

0.doc: (22 KiB) Μεταφορτώθηκε 123 φορές

konkyr · #4

Eυχαριστώ πολύ

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #5

Θέτουμε $\displaystyle{ e^x = y }$ οπότε $\displaystyle{ \mathop {lim}\limits_{y \to 0^ + } lny \cdot \int\limits_0^y {ln(t^2 + 1)} \,dt = \mathop {lim}\limits_{y \to 0^ + } y \cdot lny \cdot \frac{{\int\limits_0^y {ln(t^2 + 1)} \,dt}}{y} = 0 \cdot 0 = 0 }$
διότι $\displaystyle{ \mathop {lim}\limits_{y \to 0^ + } y \cdot lny = \mathop {lim}\limits_{y \to 0^ + } \frac{{lny}}{{\frac{1}{y}}} = \mathop {lim}\limits_{y \to 0^ + } \frac{{\frac{1}{y}}}{{ - \frac{1}{{y^2 }}}} = - \mathop {lim}\limits_{y \to 0^ + } y = 0 }$
$\displaystyle{ \mathop {lim}\limits_{y \to 0^ + } \frac{{\int\limits_0^y {ln(t^2 + 1)} \,dt}}{y} = \mathop {lim}\limits_{y \to 0^ + } \frac{{ln(y^2 + 1)}}{1} = 0 }$

mathxl · #6

Μία άλλη αντιμετώπιση για χ =< 0
$\displaystyle{0 \le t \le {e^x} \Rightarrow 0 \le {t^2} \le {e^{2x}} \Rightarrow 1 \le 1 + {t^2} \le 1 + {e^{2x}} \le 2 \Rightarrow }$
$\displaystyle{0 \le \ln \left( {1 + {t^2}} \right) \le \ln 2 \Rightarrow 0 \le \int\limits_0^{{e^x}} {\ln \left( {1 + {t^2}} \right)dt} \le \ln 2 \cdot {e^x} \Rightarrow }$
$\displaystyle{0 \le x\int\limits_0^{{e^x}} {\ln \left( {1 + {t^2}} \right)dt} \le \ln 2 \cdot {e^x}}$
Με ΚΠ το ζητούμενο

edit:Μόλις πρόσεξα ότι όταν πολλαπλασία με χ δεν άλλαξα φορά. Καλό είναι να πάρουμε χ < 0 και στο τέλος να έχουμε γνήσιες ανισότητες

#7

Άλλος τρόπος :

Για

αρκετά μικρό έχουμε $0\leq t^2<1$ . άρα μπορούμε να γράψουμε

$\displaystyle{\ln(1+t^2)=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{(t^{2})^{n}}{n}}$ , συνεπώς

$\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}x\int_{0}^{e^{x}}\ln(1+t^{2})\,dt=\lim_{x\to-\infty}x\int_{0}^{e^{x}}\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{(t^{2})^{n}}{n}=}$

$\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}x\left\{\Big(\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{t^{2n+1}}{n(2n+1)}\Big)\Big|_{0}^{e^{x}}\right\}=\lim_{x\to-\infty}x\Big(\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{e^{(2n+1)x}}{n(2n+1)}\Big)=}$

$\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}xe^{3x}\Big(\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{e^{(2(n-1)x}}{n(2n+1)}\Big)=\lim_{x\to-\infty}xe^{3x}\Big(\frac{1}{3}-\frac{e^{2x}}{10}+\cdots\Big)=}$

$\displaystyle{\frac{1}{3}\lim_{x\to-\infty}xe^{3x}=0}$ , αφού με De l' Hospital είναι $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}xe^{3x}=0}$

Μια βοήθεια

Μια βοήθεια

Re: Μια βοήθεια

Re: Μια βοήθεια

Re: Μια βοήθεια

Re: Μια βοήθεια

Re: Μια βοήθεια

Re: Μια βοήθεια

Μέλη σε σύνδεση