Τρύπιο βαρέλι

#1

Ανοίγουμε μια οπή στο τοίχωμα ενός βαρελιού γεμάτου με νερό , οπότε το νερό εκτινάσσεται με ταχύτητα $\displaystyle {{u}_{0}}=\sqrt{2gx}$ .
Βρείτε το $\displaystyle x$ το οποίο επιτυγχάνει το μέγιστο βεληνεκές $\displaystyle d$ .

gb1234 · #2

Ωραία άσκηση ρευστών Γ' Λυκείου με μαθηματικό χαρακτήρα!
Ας πάρουμε την γενικότερη περίπτωση της άσκησης. Έστω ότι το βαρέλι έχει ύψος

και η απόσταση της τρύπας απο το έδαφος είναι

.
Από την εκφώνηση, η ταχύτητα εκτίναξης του νερού από το βαρέλι είναι $u_{0}=\sqrt{2gx}\Leftrightarrow u_{0}=\sqrt{2g(H-h)}$ . Το βεληνεκές

που θα φτάσει το νερό είναι $d=u_{0}\Delta t =\sqrt{2g(H-h)}\cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{4h(H-h)}$ ,όπου $\Delta t$ ο χρόνος πτώσης του νερού, οπότε θεωρώ τη συνάρτηση $d(h)=\sqrt{4h(H-h)}$ , $h\in [0,H]$
Έπειτα από την μελέτη της

προκύπτει εύκολα ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο για $h=\frac{H}{2}$ . Συνεπώς, για $h=\frac{H}{2}$ δηλάδή για $x=\frac{H}{2}$ το βεληνεκές μεγιστοποιείται.

#3

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 27, 2022 8:57 pm
Ανοίγουμε μια οπή στο τοίχωμα ενός βαρελιού γεμάτου με νερό , οπότε το νερό εκτινάσσεται με ταχύτητα $\displaystyle {{u}_{0}}=\sqrt{2gx}$ .
Βρείτε το $\displaystyle x$ το οποίο επιτυγχάνει το μέγιστο βεληνεκές $\displaystyle d$ .

gb1234 έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 27, 2022 9:50 pm
Ωραία άσκηση ρευστών Γ' Λυκείου με μαθηματικό χαρακτήρα!
Ας πάρουμε την γενικότερη περίπτωση της άσκησης. Έστω ότι το βαρέλι έχει ύψος και η απόσταση της τρύπας απο το έδαφος είναι .
Από την εκφώνηση, η ταχύτητα εκτίναξης του νερού από το βαρέλι είναι $u_{0}=\sqrt{2gx}\Leftrightarrow u_{0}=\sqrt{2g(H-h)}$ . Το βεληνεκές που θα φτάσει το νερό είναι $d=u_{0}\Delta t =\sqrt{2g(H-h)}\cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{4h(H-h)}$ ,όπου $\Delta t$ ο χρόνος πτώσης του νερού, οπότε θεωρώ τη συνάρτηση $d(h)=\sqrt{4h(H-h)}$ , $h\in [0,H]$
Έπειτα από την μελέτη της προκύπτει εύκολα ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο για $h=\frac{H}{2}$ . Συνεπώς, για $h=\frac{H}{2}$ δηλάδή για $x=\frac{H}{2}$ το βεληνεκές μεγιστοποιείται.

Καλημέρα....

Για το ωραίο αυτό πρόβλημα έκανα δυο δυναμικά σχήματα, όπου φαίνεται
το όλο δρώμενο.
Πράγματι το πρόβλημα αυτό, γνωστό στο χώρο της σχολιικής φυσικής, δίνει
τη δυνατότητα χρήσης λογισμικού καθώς και μαθηματικών. Μάλιστα απαιτείται
και δυνατήτητα γεωμετρικών στοιχείων στο χώρο των τριών διαστάσεων.

Ακόμα από τη διαχείριση του προβλήματος αυτού μπρορεί κανείς να επεκταθεί
και σε ερωτήματα πέραν του αρχικού.

1ο Σχήμα

: Τρύπιο βαρέλι 1.png (38.14 KiB) Προβλήθηκε 1273 φορές

Το ανωτέρω σχήμα είναι ένα στιγμιότυπο από το δυναμικό που αναρτώ πιο κάτω και δείχνει
την εκκροή λίγο χρόνο μετά τη στιγμή της εκκίνησης.
Επίσης στο σχήμα δεν έχω βάλει γράμματα για απλούστερη ανάγνωση, όμως βλέπει
κανείς και το διάνυσμα της ταχύτητας εκκροής του νερού.

Δυναμικό σχήμα με οδηγίες χρήσης: https://www.geogebra.org/m/njp9xspn

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

gb1234 · #4

Ευχαριστούμε για την εξαιρετική απεικόνιση του προβλήματος κύριε Κώστα!

#5

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 27, 2022 8:57 pm
Ανοίγουμε μια οπή στο τοίχωμα ενός βαρελιού γεμάτου με νερό , οπότε το νερό εκτινάσσεται με ταχύτητα $\displaystyle {{u}_{0}}=\sqrt{2gx}$ .
Βρείτε το $\displaystyle x$ το οποίο επιτυγχάνει το μέγιστο βεληνεκές $\displaystyle d$ .

gb1234 έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 27, 2022 9:50 pm
Ωραία άσκηση ρευστών Γ' Λυκείου με μαθηματικό χαρακτήρα!
Ας πάρουμε την γενικότερη περίπτωση της άσκησης. Έστω ότι το βαρέλι έχει ύψος και η απόσταση της τρύπας απο το έδαφος είναι .
Από την εκφώνηση, η ταχύτητα εκτίναξης του νερού από το βαρέλι είναι $u_{0}=\sqrt{2gx}\Leftrightarrow u_{0}=\sqrt{2g(H-h)}$ . Το βεληνεκές που θα φτάσει το νερό είναι $d=u_{0}\Delta t =\sqrt{2g(H-h)}\cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{4h(H-h)}$ ,όπου $\Delta t$ ο χρόνος πτώσης του νερού, οπότε θεωρώ τη συνάρτηση $d(h)=\sqrt{4h(H-h)}$ , $h\in [0,H]$
Έπειτα από την μελέτη της προκύπτει εύκολα ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο για $h=\frac{H}{2}$ . Συνεπώς, για $h=\frac{H}{2}$ δηλάδή για $x=\frac{H}{2}$ το βεληνεκές μεγιστοποιείται.

(Συνέχεια...)

Καλημέρα....

Αναρτώ επιπλέον κι ένα δεύτερο στιγμιότυπο καθώς και το δυναμικό σχήμα
από το ανωτέρω πρόβλημα.

2ο Σχήμα

: Τρύπιο βαρέλι 2.png (48.93 KiB) Προβλήθηκε 1109 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνονται:

1ο) Η γραφική παράσταση της μεταβολής του μέτρου του διανύσματος της ταχύτητας
εκκροής του νερού σύμφωνα με τον δοθέντα τύπο.
Η γραμμή αυτή φαίνεται με μαύρο χρώμα και είναι στικτή.

2ο)Στην παράπλευρη οθόνη φαίνεται το γράφημα της μεταβολής του βεληνεκούς
της τροχιάς του εκκρέοντος νερού. Η γραμμή αυτή είναι παραβολή και είναι με
γαλάζιο χρώμα. Το μέγιστο βέβαια πετυχαίνεται όπως γράφτηκε από τον συνάδελφο
gb1234 όταν η οπή βρίσκεται στο μέσο του ύψους του βαρελιού.

Δυναμικό σχήμα: https://www.geogebra.org/m/pggypwsn

Κώστας Δόρτσιος

Τρύπιο βαρέλι

Τρύπιο βαρέλι

Re: Τρύπιο βαρέλι

Re: Τρύπιο βαρέλι

Re: Τρύπιο βαρέλι

Re: Τρύπιο βαρέλι

Μέλη σε σύνδεση